Trigonometria no Triângulo Retângulo

Matemática

Matemática

A Matemática é uma ciência que relaciona o entendimento coerente e pensativo com situações práticas habituais. Ela compreende uma constante busca pela veracidade dos fatos através de técnicas precisas e exatas. Ao longo da história, a Matemática foi sendo construída e aperfeiçoada, organizada em teorias válidas e utilizadas atualmente.
Ela prossegue em sua constante evolução, investigando novas situações e estabelecendo relações com os acontecimentos cotidianos.

É considerada uma das ciências mais aplicadas em nosso cotidiano. Um simples olhar ao nosso redor e notamos a sua presença nas formas, nos contornos, nas medidas. As operações básicas são utilizadas constantemente, e os cálculos mais complexos são concluídos de forma prática e adequada de acordo com os princípios matemáticos postulados.

Possui uma estreita relação com as outras ciências, que buscam nos fundamentos matemáticos explicações práticas para suas teorias. Dizemos que a Matemática é a ciência das ciências.
Determinados assuntos ligados à Química, Física, Biologia, Administração, Contabilidade, Economia, Finanças, entre outras áreas de ensino e pesquisa, utilizam das bases matemáticas para estabelecerem resultados concretos e objetivos.

Atualmente a Matemática é subdividida, dessa forma constatou-se que ficaria mais fácil o seu aprendizado. Podemos organizá-la da seguinte forma:

Aritmética
Álgebra:
Conjuntos Numéricos
Equações
Equações Algébricas
Funções
Sistemas Lineares
Progressões
Análise Combinatória
Probabilidade e Estatística
Matemática Financeira
Trigonometria
Geometria Plana
Geometria Espacial
Geometria Analítica
Cálculos

Um pouco da História da Trigonometria

Alunos do T.E. I . 1 - Ler em 22/10/15 - NÃO copiar

A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. 
O astrônomo Hiparco de Nicéia, por volta de 180 a 125 a.C., ganhou o direito de ser chamado "o pai da Trigonometria" pois, na segunda metade do século II a.C., fez um tratado em doze livros em que se ocupou da construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo.
A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.
Algumas aplicações da trigonometria são:

• Determinação da altura de um certo prédio.
  
•  Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.
• Seria impossível medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.

 

•  
• Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
• Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.

Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.

Ângulos e instrumentos

Transferidor

Teodolito Digital

É impossível olhar para o mundo à nossa volta sem, em algum instante, deparar com um ângulo.

Existem instrumentos adequados para medir ângulos. O transferidor é comumente utilizado por desenhistas e projetistas. Na época em que a navegação baseava-se na posição dos astros, para medir os ângulos os navegantes utilizavam o astrolábio. Atualmente, agrimensores e topógrafos utilizam o teodolito.

Astrolábio

Observe aluno(a)s T.E 1 - Não copiar
Trigonometria no Triângulo Retângulo

 

 
senC = c/a ,     senB = b/a  ,              cosC = b/a ,      cosB = c/a ,      tgC = c/b                   tgB = b/c     

Triângulo é o mais importantes da Geometria, ele é objeto de estudos desde os povos antigos. O triângulo possui propriedades e definições de acordo com o tamanho de seus lados e medida dos ângulos internos. 

Quanto aos lados, o triângulo pode ser classificado da seguinte forma:
Equilátero: possui os lados com medidas iguais.

Isósceles: possui dois lados com medidas iguais.

Escaleno: possui todos os lados com medidas diferentes.

Quanto aos ângulos, os triângulos podem ser denominados:

Acutângulo: possui os ângulos internos com medidas menores que 90º

Obtusângulo: possui um dos ângulos com medida maior que 90º.

Retângulo: possui um ângulo com medida de 90º, chamado  ângulo reto. 


Tebela dos ângulos notáveis



Curiosidade - Tabela trigonométrica





Observe as questões resolvidas.  Não copiar
1 --
 

 2 -

3 - Um avião levanta voo em um ângulo de 30° em relação à pista. Qual será a altura do avião quando estiver percorrendo 4 000 m em linha reta?

   Exercício 1 - Copiar e resolver, 5 questões, em 22/10/15

1 - No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas (Use: sen 65° = 0,91; cos 65° = 0,42 ; tg 65° = 2,14)

 

2 - Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas. (Sen 60° = 0,866)

3 - Encontre a medida AR sabendo que tg  = 3.

4 -



5 -  Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30°. Depois de percorrer 8 km, o avião se encontra a
uma altura de:
a)2 km                b)3 km                         c)4 km                     d)5 km

Agora são desafios e curiosidades - Não   copiar

1 - Como conseguir esta igualdade colocando entre os nove primeiros algarismos sinais aritméticos?

1     2       3      4      5     6      7      8      9    =  10

2 - Como conseguir essas igualdades colocando os sinais de + ; - ; x ; :  ?

2             2               2              2    =  0

2             2               2              2   =  1

2             2               2              2  =   2

2             2               2              2   =  3  

2             2               2              2   =  4

2             2               2              2 =    5

2             2               2              2  =   6

Quase   impossível

3 - José e João, dois amigos de infância se encontram depois de muitos anos e começam a conversar...

José - Quantos filhos você tem João?

João - Somente três.

José - Qual a idade deles?

João - A multiplicação das idades deles dá 36...

José - Tá difícil... dê mais uma dica...

João - Tá bem... a soma da idades deles é igual ao número daquela casa ali...

José foi até próximo da casa apontada, viu qual era o número e voltou, dizendo:

José - Ainda é impossível de responder com certeza...

João - Tá certo... o mais velho toca piano...

José - Já sei... as idades são : _ _ _

Quais são as idades dos filhos de João???

 

  4 - O teste de Einstein

 Aproveitando os 100 anos da pesquisa atômica de Einstein lhes mando o seguinte desafio.

 Este teste teria sido criado pelo cientista Albert Einstein. Para ele, apenas 2% da população mundial teria QI suficiente para resolvê-lo. O teste consta o seguinte (1) há cinco casas de cores diferentes, (2) em cada casa mora um homem de distinta nacionalidade e (3) nenhum deles fuma a mesma marca de cigarro ou bebe a mesma bebida ou tem o mesmo animal de estimação.

Para entrar no seleto grupo dos 2%, você precisa descobrir qual dos cinco homens tem peixes como animais de estimação.

 Dicas:

*O inglês mora na casa vermelha.

*O sueco tem cachorros como animais de estimação.

*O dinamarquês bebe chá.

*A casa verde fica ao lado esquerdo da casa branca.

*O homem da casa verde bebe café.

*O homem que fuma Pall Mall cria pássaros.

*O da casa amarela fuma Dunhill.

*O homem que mora no centro bebe leite.

*O norueguês mora na primeira casa.

*O homem que fuma blends mora do lado do que tem gatos.

*O homem que cria cavalos mora ao lado do que fuma Dunhill.

*O homem que fuma Blue master bebe cerveja.

*O alemão fuma Prince.

*O norueguês mora ao lado da casa azul.

*O homem que fuma Blends é vizinho do que bebe água.

 5 -               Você sabia…

         

O grande Leonard Euler afirmou que não há soluções inteiras positivas para a equação X4 + y4 + z4 = w4. Durante 200 anos ninguém conseguiu demonstrar isto. Parecia ser uma afirmação verdadeira uma vez que também ninguém pode provar que era falsa. Entretanto, Noam Elkies da Universidade de Harvard trabalhando com um potente computador encontrou 26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734 A afirmação de Euler é falsa!

     6 -            Você sabia…

              pi   é   aproximadamente:

3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066…?

      

7 - 

Você sabia…   que são conhecidos 51539600000 casas decimais de p, calculadas por Y. Kamada e D. Takahashi, da Universidade de Tokio em 1997? E que em 21/8/1998 foi calculada pelo projeto Pihex a 5000000000000a. casa binária de p ? Consulte a home-page http://www.cecm.sfu.ca/pi

COMO CONSEGUIR ESTAS

               IGUALDADES COLOCANDO

               ENTRE OS  5,  SINAIS

               ARITMÉTICOS?

          5     5     5     5  =  3

          5     5     5     5  = 5

          5     5     5     5  =  6

          5     5     5     5  =  26

          5     5     5     5  =  30

          5     5     5    5  =  50

          5     5     5     5  =  55

          5    5     5     5  =  120

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