Progressão Geométrica

T.E.1 - Ler a teoria

Dizemos que uma sequência numérica constitui uma progressão geométrica quando, a partir do 2º termo, o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual. Observe a sequência:

(2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é uma progressão geométrica, pois se encaixa na definição dada.

4 : 2 = 2
8 : 4 = 2
16 : 8 = 2
32 : 16 = 2
64 : 32 = 2

O termo constante da progressão geométrica é denominado razão.

Muitas situações envolvendo sequências são consideradas PG, dessa forma, foi elaborada uma expressão capaz de determinar qualquer elemento de uma progressão geométrica. Veja:

a₂ = a₁ * q
a₃ = a₁ * q² 
a₅ = a₁ * q⁴
a₁₀ = a₁ * q⁹
a₅₀ = a₁*q⁴⁹
a₁₀₀ = a₁*q⁹⁹

^{Com base nessa sequencias, temos}

Olhe a aplicação da P.G

Juros compostos e progressões geométricas

         A maioria das operações financeiras efetuadas nos dias de hoje utiliza juros compostos para remunerar um capital. Para ilustrar, suponha, por exemplo, que uma pessoa aplicou R$ 1.000,00 em renda fixa a uma taxa de 20% ao ano. O montante M₁, obtido após um ano de aplicação, é calculado adicionando-se ao capital aplicado os juros do período, ou seja:

M₁ = 1.000,00 + 0,20 . 1.000,00,  ou

M₁ = 1.000,00 . (1+ 0,20)

M₁ = 1.000,00 . 1,20

M₁ = 1.200,00

         Observe que, para aumentar uma quantia em 20%, basta multiplicá-la por 1,20. Dessa forma, o montante após dois anos é igual ao valor do montante após uma ano multiplicado por 1,20:

                  M₂ = M₁ . 1,20

M₂ = 1.200,00 . 1,20

M₂ = 1.440,00

         O montante após três anos é igual ao montante após 2 anos multiplicado por 1,20:

                   M₃ = M₂ . 1,20

                   M₃ = 1.440,00 . 1,20

M₃ = 1.728,00

         Procedendo da mesma forma, podemos concluir que a seqüência formada pelos valores dos montantes, ano a ano e com base no aplicado inicialmente, constitui-se numa PG cujo primeiro termo é igual a R$ 1.000,00 e cuja razão é igual a 1,20. Assim, teremos a seguinte sequencia:

                   (1.000,00 ; 1.200,00 ; 1.440,00 ; 1.728,00; ...)

Para estudarmos o modelo de variação de uma capital em um regime de capitalização composta C, aplicado a uma taxa mensal de i%, durante t meses. O montante produzido pelo primeiro mês será:

                   M₁ = C. (1+i)

         O montante produzido até o segundo mês é igual ao montante produzido no primeiro mês multiplicado por (1+i)

                    M₂ = M₁ . (1+i)

                   M₂ = C . (1+i) (1+i)

                   M₂ = C . (1+i)²

         Dessa forma temos:

M₃ = C . (1+i)³

         M₄ = C . (1+i)⁴

         M₅ = C . (1+i)⁵

                Assim, o montante produzido até o mês t será dado por:

                                      M(t) = C . (1+i)^t

         Essa última fórmula é utilizada para calcular o montante em uma aplicação de juros compostos, dados o capital C, a taxa de juros i e o prazo da aplicação t. A taxa de juros i deve referir-se a mesma unidade de tempo utilizada para o período t, ou seja, se a taxa for em 15% ao ano, por exemplo, o prazo de tempo deve ser considerado em anos.

Aplicação da fórmula

Exemplo 1 (Não copiar)

Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG.

a₈ = 4 * 3⁷
a₈ = 4 * 2187
a₈ = 8748

O 8º termo da PG descrita é o número 8748.

Exemplo 2  (Resolvido)

Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine o 20º termo.

a₂₀ = 3 * 3¹⁹
a₂₀ = 3 * 1.162.261.467
a₂₀ = 3.486.784.401

Exercício (T.E.1  -  copiar e resolver em 08/12/14)

1 - Determine o décimo termos da P.G. (2, 6, 18, 54...). .

2 - No depósito da construção civil, encontra-se várias tábuas iguais. Elas deverão ser empilhadas respeitando a seguinte ordem: uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha. Por exemplo:

Determine a quantidade de tábuas empilhadas na 12ª pilha.

3 - O carro do Fernando, cujo preço à vista é R$ 24 000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4 000,00 e a quarta parcela de R$ 1 000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro?

copiar a fórmula da soma T.E. 1 em 08/12/14

7 – Soma dos n primeiros termos de uma P.G
Considerando (a_n) como uma P.G. de razão q e S_n  a soma dos n primeiros termos, temos: 

Não copiar

Ex1-  Determine a soma dos doze primeiros elementos da progressão geométrica (2, 8, 32, 128, ...).

a₁: 2      q (razão): 8 : 2 = 4          n: 12

2 - Uma pessoa resolve guardar um dinheiro obedecendo a uma progressão geométrica de razão 2. Considerando que no primeiro mês ela irá poupar R$ 0,50, qual será o valor poupado no oitavo mês e o total guardado no período?

Valor guardado no 8º mês.
a_n = a₁*q^n–1
a₈ = 0,5*2^8–1
a₈ = 0,5*2⁷
a₈ = 0,5*128
a₈ = 64
No oitavo mês ela irá poupar R$ 64,00.

Total poupado

A quantia poupada no tempo determinado é de R$ 127,50.

Exercício (copiar e resolver T.E.1)

1 - Calcule:

a)    a soma dos cinco primeiros termos da P.G. (2, 6, 18, ...)

b)    a soma dos seis primeiros termos da P.G. (4 , 8 , 16 , ...);

c)    a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (1 , 2, 4, 8, 16, ...).

2 - Uma moça seria contratada como balconista para trabalhar de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecederiam o Natal. O patrão ofereceu R$ 1,00 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior. A moça recusou o trabalho. Se ela tivesse aceito a oferta, quanto teria recebido pelos 12 dias de trabalho?.

Obs: Os alunos do T.E. 1 deve copiar e resolver essas questões no caderno pois o Professor irá corrigir essa atividade valendo ponto.

Terminando a resolução (T.E.1) os alunos podem acessar  o site www.educandusweb.com.br/ewce/portal                       login teste.teste7      senha 0312 e ver a apresentação dos conteúdos de P.G  e  P.A.

Curiosidade (Não copiar)


Johann Friederich Carl Gauss nasceu em Brunswick, Alemanha. De família humilde mas com o incentivo de sua mãe obteve brilhantismo em sua carreira. Estudando em sua cidade natal, certo dia quando o professor mandou que os alunos somassem os números de 1 a 100, imediatamente Gauss achou a resposta - 5050 - aparentemente sem cálculos. Supõe-se que já aí houvesse descoberto a fórmula de uma soma de uma progressão aritmética.

Johann Friedrich Carl Gauss (Alemão 1777), foi um matemático, astrônomo e físico alemão que contribuiu muito em diversas áreas da ciência, dentre elas a teoria dos números, estatística, análise matemática, geometria diferencial, geodésia, geofísica, astronomia e óptica.

 1 - Um cachorro persegue um coelho. A velocidade do coelho é 1/10 da velocidade do cachorro.
A distância que os separa é de 100 metros. Nessas condições, quando o cachorro vencer os 100 metros, o coelho terá corrido 1/10 do que percorreu o cachorro e ficará 10 metros a sua frente. Quando o cachorro correr esses 10 metros, o coelho terá percorrido 1/10 dessa distância e estará 1 metro a sua frente. Quando o cachorro correr esse metro, o coelho terá corrido 10 centímetros, e assim por diante. Esse raciocínio pode levar muita gente a pensar que o cachorro nunca alcançará o coelho. Assim também pensou o coelho. Azar dele.

Com os recursos estudados é possível determinar em que ponto o cachorro alcançará o coelho. E, então, quantos metros ele deverá correr para alcançar o coelho?

   2 - O Último teorema de Fermat, ou teorema de Fermat  -  Wiles, afirma  que não existe nenhum conjunto de inteiros positivos x, y, z e n com n  maior que 2 que satisfaça.

Fermat

3 - O livro que todos deveriam ler

Progressão Aritmética

Progressão Aritmética

Conceito de Progressão Aritmética - PA

Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda sequência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.

Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)

Classificação das progressões aritméticas:
(a) (2, 5, 8, 11, …) ⇨ progressão crescente 
(r = 5 − 2 = 3 > 0) infinita
(b) (-4,-4,-4,-4,-4,-4,-4) ⇨ progressão estacionária                  (r = (-4) - (-4) = 0) finita
(c) (10,8,6,4,2,0,-2) ⇨ progressão decrescente                      (r = 8 - 10 = -2 < 0 ) finita

Termo Geral de uma Progressão Aritmética

Considere uma P.A finita qualquer (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n) de razão igual a r, sabemos que: 

a₂ – a₁ = r → a₂ = a₁ + r 
a₃ – a₂ = r → a₃ – a₁ – r = r → a₃ = a₁ + 2r 
a₄ – a₃ = r → a₄ – a₁ – 2r = r → a₄ = a₁ + 3r 
… 

a n = a₁ + (n – 1) . r 
Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a 

seguinte fórmula: 
a_n = a₁ + (n – 1) . r 

Ex. (Resolvidos) Determine o 20º elemento e a soma dos 

termos da seguinte progressão aritmética:                             (2, 7, 12, 17,...). 

Na progressão dada, temos que o 1º termo representado 

por a1 vale 2 e a razão equivale a 5.  Essa PA terá 20 

termos representados pela letra n, então:

Determinando o 20º termo.

a_n = a1 + (n – 1) * r

a20 = 2 + (20 – 1) * 5

a20 = 2 + 19 * 5

a20 = 2 + 95

a20 = 97

Calculando a soma dos termos.

2 - Determine quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1 000

a_n = a₁ + (n – 1) * r


999 = 108 + (n – 1) * 9


999 = 108 + 9n – 9


999 – 108 + 9 = 9n


9n = 900


n = 900/9


n = 100

Exercício

1 - Calcule o número de termos da P.A. (5, 10, ..., 785).

2 - Quantos múltiplos de 6 podemos escrever com 2 algarismos ?

3 - Quantos são os números naturais menores que 98 e divisíveis por 5 ?

4 - Quantos números inteiros existem, de 98 a 208, que  são divisíveis por 8 ?

5 - Numa estrada existem dois telefones instalados 

no acostamento: um no km 3 e outro no km 88. Entre eles 

serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois 

telefones consecutivos sempre a mesma distância. 

Determine em quais marcos quilométricos deverão ficar 

esses novos telefones.

6 - A soma de todos os números naturais ímpares de 

2 algarismos é:

OLIMPÍADA INTERNA DE MATEMÁTICA - 2014

Trigonometria no Triângulo Retângulo

Matemática

Matemática

A Matemática é uma ciência que relaciona o entendimento coerente e pensativo com situações práticas habituais. Ela compreende uma constante busca pela veracidade dos fatos através de técnicas precisas e exatas. Ao longo da história, a Matemática foi sendo construída e aperfeiçoada, organizada em teorias válidas e utilizadas atualmente.
Ela prossegue em sua constante evolução, investigando novas situações e estabelecendo relações com os acontecimentos cotidianos.

É considerada uma das ciências mais aplicadas em nosso cotidiano. Um simples olhar ao nosso redor e notamos a sua presença nas formas, nos contornos, nas medidas. As operações básicas são utilizadas constantemente, e os cálculos mais complexos são concluídos de forma prática e adequada de acordo com os princípios matemáticos postulados.

Possui uma estreita relação com as outras ciências, que buscam nos fundamentos matemáticos explicações práticas para suas teorias. Dizemos que a Matemática é a ciência das ciências.
Determinados assuntos ligados à Química, Física, Biologia, Administração, Contabilidade, Economia, Finanças, entre outras áreas de ensino e pesquisa, utilizam das bases matemáticas para estabelecerem resultados concretos e objetivos.

Atualmente a Matemática é subdividida, dessa forma constatou-se que ficaria mais fácil o seu aprendizado. Podemos organizá-la da seguinte forma:

Aritmética
Álgebra:
Conjuntos Numéricos
Equações
Equações Algébricas
Funções
Sistemas Lineares
Progressões
Análise Combinatória
Probabilidade e Estatística
Matemática Financeira
Trigonometria
Geometria Plana
Geometria Espacial
Geometria Analítica
Cálculos

Um pouco da História da Trigonometria

Alunos do T.E. I . 1 - Ler em 22/10/15 - NÃO copiar

A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. 
O astrônomo Hiparco de Nicéia, por volta de 180 a 125 a.C., ganhou o direito de ser chamado "o pai da Trigonometria" pois, na segunda metade do século II a.C., fez um tratado em doze livros em que se ocupou da construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo.
A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.
Algumas aplicações da trigonometria são:

• Determinação da altura de um certo prédio.
  
•  Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.
• Seria impossível medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.

 

•  
• Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
• Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.

Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.

Ângulos e instrumentos

Transferidor

Teodolito Digital

É impossível olhar para o mundo à nossa volta sem, em algum instante, deparar com um ângulo.

Existem instrumentos adequados para medir ângulos. O transferidor é comumente utilizado por desenhistas e projetistas. Na época em que a navegação baseava-se na posição dos astros, para medir os ângulos os navegantes utilizavam o astrolábio. Atualmente, agrimensores e topógrafos utilizam o teodolito.

Astrolábio

Observe aluno(a)s T.E 1 - Não copiar
Trigonometria no Triângulo Retângulo

 

 
senC = c/a ,     senB = b/a  ,              cosC = b/a ,      cosB = c/a ,      tgC = c/b                   tgB = b/c     

Triângulo é o mais importantes da Geometria, ele é objeto de estudos desde os povos antigos. O triângulo possui propriedades e definições de acordo com o tamanho de seus lados e medida dos ângulos internos. 

Quanto aos lados, o triângulo pode ser classificado da seguinte forma:
Equilátero: possui os lados com medidas iguais.

Isósceles: possui dois lados com medidas iguais.

Escaleno: possui todos os lados com medidas diferentes.

Quanto aos ângulos, os triângulos podem ser denominados:

Acutângulo: possui os ângulos internos com medidas menores que 90º

Obtusângulo: possui um dos ângulos com medida maior que 90º.

Retângulo: possui um ângulo com medida de 90º, chamado  ângulo reto. 


Tebela dos ângulos notáveis



Curiosidade - Tabela trigonométrica





Observe as questões resolvidas.  Não copiar
1 --
 

 2 -

3 - Um avião levanta voo em um ângulo de 30° em relação à pista. Qual será a altura do avião quando estiver percorrendo 4 000 m em linha reta?

   Exercício 1 - Copiar e resolver, 5 questões, em 22/10/15

1 - No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas (Use: sen 65° = 0,91; cos 65° = 0,42 ; tg 65° = 2,14)

 

2 - Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas. (Sen 60° = 0,866)

3 - Encontre a medida AR sabendo que tg  = 3.

4 -



5 -  Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30°. Depois de percorrer 8 km, o avião se encontra a
uma altura de:
a)2 km                b)3 km                         c)4 km                     d)5 km

Agora são desafios e curiosidades - Não   copiar

1 - Como conseguir esta igualdade colocando entre os nove primeiros algarismos sinais aritméticos?

1     2       3      4      5     6      7      8      9    =  10

2 - Como conseguir essas igualdades colocando os sinais de + ; - ; x ; :  ?

2             2               2              2    =  0

2             2               2              2   =  1

2             2               2              2  =   2

2             2               2              2   =  3  

2             2               2              2   =  4

2             2               2              2 =    5

2             2               2              2  =   6

Quase   impossível

3 - José e João, dois amigos de infância se encontram depois de muitos anos e começam a conversar...

José - Quantos filhos você tem João?

João - Somente três.

José - Qual a idade deles?

João - A multiplicação das idades deles dá 36...

José - Tá difícil... dê mais uma dica...

João - Tá bem... a soma da idades deles é igual ao número daquela casa ali...

José foi até próximo da casa apontada, viu qual era o número e voltou, dizendo:

José - Ainda é impossível de responder com certeza...

João - Tá certo... o mais velho toca piano...

José - Já sei... as idades são : _ _ _

Quais são as idades dos filhos de João???

 

  4 - O teste de Einstein

 Aproveitando os 100 anos da pesquisa atômica de Einstein lhes mando o seguinte desafio.

 Este teste teria sido criado pelo cientista Albert Einstein. Para ele, apenas 2% da população mundial teria QI suficiente para resolvê-lo. O teste consta o seguinte (1) há cinco casas de cores diferentes, (2) em cada casa mora um homem de distinta nacionalidade e (3) nenhum deles fuma a mesma marca de cigarro ou bebe a mesma bebida ou tem o mesmo animal de estimação.

Para entrar no seleto grupo dos 2%, você precisa descobrir qual dos cinco homens tem peixes como animais de estimação.

 Dicas:

*O inglês mora na casa vermelha.

*O sueco tem cachorros como animais de estimação.

*O dinamarquês bebe chá.

*A casa verde fica ao lado esquerdo da casa branca.

*O homem da casa verde bebe café.

*O homem que fuma Pall Mall cria pássaros.

*O da casa amarela fuma Dunhill.

*O homem que mora no centro bebe leite.

*O norueguês mora na primeira casa.

*O homem que fuma blends mora do lado do que tem gatos.

*O homem que cria cavalos mora ao lado do que fuma Dunhill.

*O homem que fuma Blue master bebe cerveja.

*O alemão fuma Prince.

*O norueguês mora ao lado da casa azul.

*O homem que fuma Blends é vizinho do que bebe água.

 5 -               Você sabia…

         

O grande Leonard Euler afirmou que não há soluções inteiras positivas para a equação X4 + y4 + z4 = w4. Durante 200 anos ninguém conseguiu demonstrar isto. Parecia ser uma afirmação verdadeira uma vez que também ninguém pode provar que era falsa. Entretanto, Noam Elkies da Universidade de Harvard trabalhando com um potente computador encontrou 26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734 A afirmação de Euler é falsa!

     6 -            Você sabia…

              pi   é   aproximadamente:

3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066…?

      

7 - 

Você sabia…   que são conhecidos 51539600000 casas decimais de p, calculadas por Y. Kamada e D. Takahashi, da Universidade de Tokio em 1997? E que em 21/8/1998 foi calculada pelo projeto Pihex a 5000000000000a. casa binária de p ? Consulte a home-page http://www.cecm.sfu.ca/pi

COMO CONSEGUIR ESTAS

               IGUALDADES COLOCANDO

               ENTRE OS  5,  SINAIS

               ARITMÉTICOS?

          5     5     5     5  =  3

          5     5     5     5  = 5

          5     5     5     5  =  6

          5     5     5     5  =  26

          5     5     5     5  =  30

          5     5     5    5  =  50

          5     5     5     5  =  55

          5    5     5     5  =  120

         8 -