quarta-feira, 18 de junho de 2014

Função Exponencial

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Definição de Função Exponencial

São funções f: R→R tal que f(x) = a ^x, sendo que a > 0 e a ≠ 1 e x um número real

A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um.

Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações:

1º caso: a > 1 (base maior que 1)

2º caso: 0 < a < 1. (base maior que zero e menor que 1)

Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas

:

Traçar o gráfico das funções f(x) = 2^x (crescente) e f(x) = (1/2)^x (decrescente), para isso vamos dar valores para "x" e achar seu correspondente em "y":

y = 2^x

x

y

-1

2^-1=1/2

0

2⁰=1

1

2¹=2

2

2²=4

f(x) = (1/2) ^x

x

y

-2

(1/2)^-2 =4

-1

(1/2)^-1 =2

0

(1/2)⁰ =1

1

(1/2)¹ =1/2

1ª Atividade

1 - Construa o gráfico da função exponencial.

a) f(x) = 4^x

2 - Considerando que f(x) = 49^x, determine o valor de f(1,5).

3 - Dadas as funções f(x) = 2 ^{x² – 4} e g(x) = 4 ^{x² – 2x}, se x satisfaz f(x) = g(x), então determine 2^x

Aplicação da Função Exponencial no cotidiano

NÃO copiar

Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações.

As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.

Função Exponencial na Matemática Financeira

Uma expressão matemática utilizada no cálculo dos juros compostos é a seguinte:

M = C * (1 + i)^t, onde o capital C é multiplicado pela exponencial
M: montante
C: capital
i: taxa de juros
t: tempo de aplicação
1 - Num depósito a prazo efetuado em um banco, o capital acumulado ao fim de certo tempo é dado pela fórmula C = D * (1 + i)t, onde C representa o capital acumulado, D o valor do depósito, i a taxa de juros ao mês e t o tempo de meses em que o dinheiro está aplicado. Nesse sistema, ao final de cada mês os juros capitalizados são incorporados ao depósito.

a) Para um depósito de R$ 1 000,00, com taxa de 2% ao mês, qual o capital acumulado ao fim de 6 meses?

C = D * (1 + i)t
C = 1000 * (1 + 0,02)6
C = 1000 * 1,026
C = 1000 * 1,126162419264
C = 1 126,16
O capital acumulado será de R$ 1.126,16.

b) Para um depósito de R$ 5 000,00, a uma taxa de 5% ao mês, qual o capital acumulado durante 4 meses?

Mais informações »

Função do 2º Grau

Definição

Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática é a função real definida por: f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são coeficientes reais, sendo a ≠ 0.

Vejamos alguns exemplos de função quadrática:
a) y = x²2 – 5x + 6, na qual a = 1, b = -5 e c = 6 b) y = - x²+ x , na qual a = - 1, b = 1 e c = 0

c) y = 3x2 – 4x, na qual a = 3, b = -4 e c = 0
d) y = 2x2 – 1, na qual a = 2, b = 0 e c = -1

As raízes da função f(x) = ax² + bx + c, são obtidas através da fórmula de Bhaskara (Raízes da função)

onde

é denominado discriminante de f(x).

O gráfico da função e as raízes

A parábola corta o eixo do x nas raízes e o eixo y no valor de c.

Concavidade da parábola

A parábola pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo.
A parábola tem a concavidade voltada para cima quando a > 0 enquanto tem a concavidade voltada para baixo quando a < 0.

a > 0 a < 0

Obs: A parábola pode cortar ou não o eixo x (a > 0)

duas raízes reais (dois pontos no eixo x)

(a > 0) duas raízes reais e iguais ( um único ponto no eixo x)

Delta < 0 Não há raízes reais (a parábola não corta o eixo x)

O valor de c no plano cartesiano

Resumindo

VÉRTICE DA PARÁBOLA:

O vértice da parábola determina o ponto de mínimo (a > 0) ou de máximo da função (a < 0). Tal vértice será o par ordenado (x_v,y_v).

Valor mínimo (a > 0)

Valor máximo (a < 0)

Fórmulas para calcular as coordenadas do vértice.

Observe bem aluno(a)s do TE1 e TEM 1

Conjunto imagem da função quadrática.

O conjunto imagem é determinada no eixo y do plano cartesiano
1º - Se a parábola está voltada para baixo (a < 0) a imagem da função é
Im(f) = {y

R/ y

Yv}

2º - Se a parábola está voltada para cima (a > 0) a imagem da função é
Im(f) = {y

R/ y > Yv}

Assim para determinar o conjunto imagem da função é preciso determinar o

Ex: 1 - O conjunto imagem da função f(x) = x² - 8x + 12 é
Im(f) = {y

R/ y > -4}

Observe as questões resolvidas

Atividade NÃO copiar

1 - Determinar as raízes da função

a) f(x) = x² - 10x + 16 b) f(x) = 3x² - 48x c) f(x) = 2x² - 32

2 Determine as coordenadas do vértice das funções quadráticas:

a) f(x) = 2x² - 4x + 2 b) f(x) = 3x² - 6x - 1

c) f(x) = x² - 4x - 3 d) f(x) = - 2x² + 8x

3 - Determine o conjunto imagem das funções:

a) f(x) = x² - 6x + 5 b) f(x) = - x²  + 6x - 8 c) f(x) = - x² + 4x

4 - Dada a função quadrática f(x) = - x²  + 11x - 18, determine
a) a soma e o produto das raízes
b) as raízes da função
c) as coordenadas do vértices da função
d) o conjunto imagem da função
e) a representação gráfica da função

5 - Represente no plano cartesiano o gráfico das funções:
a) f(x) = x² - 4x + 4 b) f(x) = - x²  + 5x.

Exercício - É para copiar e resolver TE 1 e TEM 1 em 08/05/15

1 - Claudete leu 3/5 de um livro e ainda faltam 68 páginas para ela terminar de ler o livro todo. Quantas páginas têm o livro?

2- Um copo cheio de água pesa 425g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 280 g. O peso do copo vazio é:

3 - Na compra de um carro, foi dada uma entrada, correspondendo a um terço do seu valor, e o restante foi financiado em 24 prestações fixas de R$ 625,00. Calcule o preço do carro.

4 - Um pai querendo incentivar o filho a estudar
matemática, combina pagar-lhe R$ 8,00 por problema que ele acertar, mas vai cobrar R$ 5,00 por problema que ele errar. Depois de 26 problemas fazem as contas e o filho nada recebe e nada deve. Quantos problemas ele acertou?

Curiosidade NÃO É PARA COPIAR - Veja essas curiosidades

1 - Escolha um numero de três algarismos:
Ex: 234
Repita este numero na frente do mesmo:
234234
Agora divida por 13:
234234 / 13 = 18018
Agora divida o resultado por 11:
18018 / 11 = 1638
Divida novamente o resultado, só que agora por 7:
1638 / 7 = 234
O resultado é igual ao numero de três algarismos que você havia escolhido: 234.
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2 - Você sabia que adicionando o número 1 à multiplicação de quatro números consecutivos você obtém um quadrado perfeito?
Exemplo: 1*2*3*4+1 = 25
4 * 5 * 6 * 7 + 1 = 841 que equivale a 29²
^{8 * 9 * 10 * 11 + 1 = 7921 que equivale a}89²
^{E assim por diante}
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3 - Você acha fácil dobrar uma folha de papel? Que tal tentar dobrá-la 50 vezes?

Aqui está a folha...	Dobrando 1 vez...

Dobrando 2 vezes...	Dobrando 3 vezes...

Dobrando 4 vezes...	Dobrando 5 vezes...

Dobrando 6 vezes...	...

Você pode até conseguir dobrar 7 ou 8 vezes, mas nada além disso. Porém, por incrível que pareça, se você conseguisse dobrar a folha 50 vezes, ela apresentaria uma espessura aproximadamente igual à distância da Terra à Lua.
Observação: para dobrar uma folha 50 vezes ela deveria ter mais de 4.000.000 Km de comprimento!
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4 - Considerando o dia 4 de Maio de 2006, aos 2 minutos e 3 segundos passados da 1 hora da manhã, temos o seguinte horário seqüencial:

01:02:03 04/05/06
É uma seqüencia numérica que jamais irá se repetir.

5 - Você sabe o que é ano-luz? É uma unidade de comprimento ou a distância que a luz percorre num período de tempo de um ano. A luz desenvolve uma velocidade de aproximadamente 300.000 km/s. Ou seja, em 1 segundo a luz percorre uma distância de 300.000 km. Se a luz percorre 300.000 km em 1 segundo, em 1 ano a luz percorre uma distância de 9.460.800.000.000 Km, mais de 9 trilhões de quilômetros em um ano! Dessa forma, quando ouvimos falar que foi descoberta uma nova galáxia que está localizada, por exemplo, a 10 anos-luz de distância da Terra, significa que ela está a uma distância de 90 trilhões de quilômetros.
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6 -

1 x 1 = 1

11 x 11 = 121

111 x 111 = 12321

1111 x 1111 = 1234321

11111 x 11111 = 123454321

111111 x 111111 = 12345654321

1111111 x 1111111 = 1234567654321

11111111 x 11111111 = 123456787654321

111111111 x 111111111 = 12345678987654321

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7 -

9 x 9 + 7 = 88

98 x 9 + 6 = 888

987 x 9 + 5 = 8888

9876 x 9 + 4 = 88888

98765 x 9 + 3 = 888888

987654 x 9 + 2 = 8888888

9876543 x 9 + 1 = 88888888

98765432 x 9 + 0 = 888888888

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8 - Apesar de não ser a verdadeira história da origem destes

números não deixa de ser bastante interessante e curiosa.

Coincidências ;-)

Os números 1,2,3 e 4

Os números 5, 6, 7 e 8

O número 9

O mais interessante de todos! O número 0!

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9 - Você conhece o número mágico?

O número é 1089 é conhecido como o número mágico. Veja

porque:

1 - Escolha qualquer número de três algarismos distintos:

por exemplo, 875.

Agora escreva este número de trás para frente e subtraia o

menor do maior:

875 - 578 = 297

Agora inverta também esse resultado e faça a soma:

297 + 792 = 1089 (o número mágico)

2 - Digamos que o número seja 743. Escrevendo ao

contrário 347, subtraindo 743 - 347 = 396

Agora somando 396 + 693 = 1089 (Agora é com você)

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10 - Você sabia que a fórmula para resolver uma equação do 3º grau do tipo x³+ px + q = 0 é a seguinte

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11 - O maior número primo conhecido é 2^32.582.657-1, que tem 9.808.358 dígitos e foi descoberto em 4/9/2006 pelos Drs. Curtis Cooper, Steven Boone e sua equipe. Este primo tem 650.000 dígitos a mais do que o maior primo encontrado por eles mesmos em dezembro de 2005.

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12 - Número primo

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13 - O valor de pi é aproximado

As questões a seguir são questões de aplicação de função do 2º grau

O aluno(a) é quem escolhe em copiar ou não. Você decide

1 - O diretor de uma orquestra percebeu que, com o

ingresso a R$ 9,00, em média 300 pessoas assistem aos

concertos e que, para cada redução de R$ 1,00 no preço

dos ingressos, o público aumenta de 100 espectadores.

Qual deve ser o preço do ingresso para que a receita seja

máxima? (Obs: Construir o gráfico)

2 - O movimento de um projétil, lançado para cima

verticalmente, é descrito pela equação y = – 40x² + 200x.

Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x

segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o

tempo que esse projétil permanece no ar correspondem,

respectivamente, a: (Obs: Construir o gráfico)

a) 6,25 m, 5s b) 250 m, 0 s c) 250 m, 5s

d) 250 m, 200 s e) 10.000 m , 5s

3 - Para pagar as despesas mensais de um condomínio,

ficou combinado que todos contribuiriam com a mesma

quantia. Num certo mês, em que as despesas totalizaram

R$ 360,00, devido à inadimplência de dois dos

condôminos, cada um dos demais foi obrigado a pagar,

além da sua

cota normal, um adicional de R$ 6,00. Qual é o número de

condôminos? (Obs: Construir o gráfico).

4 - Para pagar as despesas mensais de um condomínio,

ficou combinado que todos contribuiriam com a mesma

quantia. Num certo mês, em que as despesas totalizaram

R$ 600,00, devido à inadimplência de 4 dos condô-minos,

cada um dos demais foi obrigado a pagar, além da sua

cota normal, um adicional de R$ 5,00. Qual é o número de

condôminos? (Obs: Construir o gráfico).

5 - Um computador devia ser comprado por um grupo de

pessoas que contribuíam em partes iguais. Como 4 delas

desistiram, a quota de cada um aumentou em R$ 15,00.

Quantas eram as pessoas? (Construir o gráfico)

6 - Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. A

primeira gasta 5 horas a mais para encher esse tanque do

que a segunda.. Quanto tempo gastará a segunda

torneira,

isoladamente, para encher esse tanque?

Raciocínio Lógico 2

01) Dois digitadores - Arnaldo e Belarmino - trabalhando juntos, gastaram 3 horas e 20 minutos para digitar certa quantidade de provas. Sabendo que, sozinho, Arnaldo teria arquivado todos os processos em 5 horas de trabalho ininterrupto, o esperado é que, sozinho, Belarmino seria capaz de realizar tal tarefa se trabalhasse por um período de:

A) 9 horas.

B) 9 horas e 20 minutos.

C) 9 horas e 40 minutos.

D) 10 horas.

02) Edson e George fornecem material para uma escola. Edson visita a escola a cada 16 dias e George a cada 20 dias. Eles se encontraram hoje na escola. O próximo encontro deles na escola, se repetirá novamente daqui a: (considerando a média de 30 dias para cada mês.)

A) 2 meses.

B) 2 meses e 20 dias.

C) 3 meses.

D) 1 mês.

03) Devido às fortes chuvas e a falhas na drenagem, o gramado do Estádio Municipal Paulo Machado de Carvalho, mais conhecido por Estádio do Pacaembu, precisou passar por um replantio de grama no período de 19 a 22 de dezembro de 2011. Para isso, foram utilizadas 3600 placas de grama, cada uma medindo 40 cm por 60 cm . Sabendo-se que o gramado do Pacaembu tem 110 m de comprimento e 70 m de largura, o percentual do gramado que estava degradado era de, aproximadamente,

A) 1,2%

B) 7,48%

C) 11,22%

D) 74,8%

04) O jornal de maior circulação no estado de Amazonas divulgou dia 12 de maio de 2011, “A Polícia Federal apreendeu, em uma casa de um conjunto habitacional, em Coari (AM), cerca de R$ 7 milhões em cédulas, em sua maior parte de R$ 50,00 e R$ 100,00.” Considere que as notas cujo valor é inferior a R$ 50,00 perfazem um total aproximado de R$ 1000,00 e suponha que há, aproximadamente, 85 mil notas de R$ 50,00. A quantidade aproximada de notas de R$ 100,00 é:

A) 17500

B) 27500

C) 21500

D) 25700

terça-feira, 17 de junho de 2014

Raciocínio Lógico e Geom. Plana

MATEMÁTICA - RACIOCÍNIO LÓGICO E GEOMETRIA PLANA

NOME:_______________________________________________________________________Nº________

1 - Em uma urna, há 3 bolas brancas, 4 bolas azuis, 5 bolas vermelhas 6 bolas pretas, 7 bolas amarelas e 8 bolas cinzas. As bolas serão extraídas uma a uma, sucessivamente e de maneira aleatória. O número mínimo de bolas que devem ser retiradas para que se possa garantir que, entre as bolas extraídas da urna, haja pelo menos uma de cada cor é:

(A) 6 (B) 8 (C) 30 (D) 31 (E) 32

2 - AB

+ BC

1DA

Na conta armada acima, A, B, C e D são algarismos distintos entre si. Se B e C têm os maiores valores possíveis, o valor de D é:

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9

3 – Maria tem três carros: Um Gol, um Corsa e um Fiesta.

Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que:

* ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco, * ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul,

* ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul, * ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente, a) branco, preto, azul b) preto, azul, branco c) azul, branco, preto d) preto, branco, azul e) branco, azul, preto

4- Numa sala estão 100 pessoas, todas elas com menos de 80 anos de idade. É FALSO afirmar que pelo menos duas dessas pessoas: a) nasceram num mesmo ano. b)nasceram num mesmo mês. C)nasceram num mesmo dia da semana. D)nasceram numa mesma hora do dia. E) têm 50 anos de idade.

5- Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é a) 518.400 b) 1.440 c) 720 d) 120 e) 54

6 - Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:
*Armando: ''Sou inocente''                              * Celso: ''Edu é o culpado''                       * Edu: ''Tarso é o culpado''
*Juarez: ''Armando disse a verdade''               *Tarso: ''Celso mentiu''
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é:                   a) Armando                  b) Celso                     c)Edu                     d)Juarez             e)Tarso

7 - É necessário um certo número de pisos de 25 cm x 25 cm para cobrir o piso de uma cozinha com 5 m de comprimento por 4 m de largura. Cada caixa tem 20 pisos. Supondo que nenhum piso se quebrará durante o serviço, quantas caixas são necessárias para cobrir o piso da cozinha?

8 - Sabendo que a base maior de um trapézio mede 12 cm, base menor mede 3,4 cm e sua altura mede 5 cm. Calcule a área deste trapézio.

9 - O jornal de certa cidade publicou em uma página inteira o seguinte divulgação no seu caderno de classificados

Para que a propaganda seja fidedigna à porcentagem da área que aparece na divulgação, a medida do lado do retângulo que representa os 4% deve ser de, aproximadamente:

a) 1 mm. B) 10 mm.

c) 17 mm.

d) 160 mm.

e) 167 mm.

10 - O triângulo ABC tem lados medindo 5 cm, 7 cm e 8 cm. Calcule sua

área e o raio da circunferência inscrita.

11 - No triângulo ABC de área 1, as medianas BM e CN cortam-se em G.

Qual é a área do triângulo GMN?

quarta-feira, 18 de junho de 2014