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Brasileiro ganha a Medalha Fields, o 'Nobel' da Matemática em agosto de 2014 na França

(Foto: André Valentim)

O matemático Artur Avila Cordeiro de Melo, de 35 anos, recebeu, na terça-feira (12), a Medalha Fields, prêmio equivalente ao 'Nobel' de matemática. Artur é o primeiro pesquisador brasileiro a receber a medalha. O prêmio é outorgado pela União Internacional de Matemáticos (IMU, da sigla em inglês) a cada quatro anos a pesquisadores com menos de 40 anos, cujos trabalhos sejam considerados fundamentais para o avanço da matemática. O prêmio foi entregue durante a cerimônia de abertura do Congresso Internacional de Matemáticos, realizado na cidade de Seul, Coreia do Sul.

Receberam também a Medalha Fields; Manjul Bhargava, do Canadá, Martin Hairer, da Áustria e Maryam Mirzakhani, do Irã, que é também a primeira mulher a receber a premiação.


Contornando a medalha está a inscrição (em latim) "TRANSIRE SUUM PECTUS MUNDOQUE POTIRI". "Superar os limites da inteligência e conquistar o universo". 

Início na Olimpíada Brasileira de Matemática

Artur Avila coleciona medalhas desde 1992, quando conquistou uma medalha de bronze na Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM). Posteriormente obteve outras medalhas na competição nacional e uma medalha de ouro na Olimpíada Internacional de Matemática (IMO, da sigla em inglês) em 1995. Artur divide hoje as funções de diretor de pesquisa no Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), em Paris, França e pesquisador extraordinário no Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (Impa), no Rio de Janeiro. 

Principais premiações de Artur Avila

- Bronze na Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM) em 1992;
- Ouro na Olimpíada Brasileira de Matemática em 1993, 1994 e 1995;
- Prata na Olimpíada de Matemática do Cone Sul em 1994;
- Ouro na Olimpíada Ibero-americana de Matemática (OIM), Olimpíada de Matemática do Cone Sul e Olimpíada Internacional de Matemática (IMO) em 1995;
- Prêmio Salem em 2006;
- Prêmio da Sociedade Matemática Europeia em 2008;
- Grand Prix Jacques Herbrand da Academia de Ciências da França em 2009;
- Prêmio Michael Brin em 2011;
- Medalha Fields em 2014.

Hoje, o certificado de ensino médio baseado no Enem só pode ser utilizado por candidatos com pelo menos 18 anos de idade

O Tribunal Regional Federal (TRF) da 1ª Região, localizado em Brasília, passou por cima das portarias do Ministério da Educação (MEC) e autorizou o uso do Enem como certificado de conclusão do ensino médio por uma estudante treineira com menos de 18 anos e que ainda não tinha concluído essa etapa escolar. Hoje, as normativas do governo só permitem a certificação de ensino médio pelo Enem para candidatos com pelo menos 18 anos.

A decisão da Corte foi baseada em uma ação judicial proposta por uma aluna do Tocantins. Ela nem sequer tinha completado 17 anos quando realizou o Enem de 2013. Pelo seu bom desempenho no exame, a jovem conseguiu alcançar a pontuação necessária para entrar no curso de Ciência da Computação na Universidade Federal do Tocantins (UFT). Mas ela só conseguiu efetivar a matrícula com a ajuda da Justiça, já que enfrentou resistências da UFT.

Rose Brasil/ABr

O desembargador Souza Prudente colocou o mérito da aluna acima das portarias do MEC

Para o relator do processo, a decisão teve como justificativa principal a prerrogativa da justiça em defender a garantia do acesso à educação. "[A decisão] se apresenta em sintonia com o exercício do direito constitucional à educação e com a expectativa de futuro retorno intelectual em proveito da Nação, que há de prevalecer sobre formalismos eventualmente inibidores e desistimuladores do potencial científico daí decorrente", afirma, em seu voto, o desembargador federal Souza Prudente.

A visão do magistrado, que foi avalizada, por unanimidade, pela 5ª turma de desembargadores do TRF e referendada pela Corte na última semana após análise de recurso de apelação, é totalmente contrária a decisões dadas por outros tribunais e juízes federais espalhados por todo o País.

Uma série de outras decisões entendia que as regras do MEC eram claras: Enem como instrumento de certificação, somente para candidatos com pelo menos 18 anos. Tais visões também colocavam em destaque uma das principais funções dessa certificação, a de atender pessoas mais velhas que encontram no Enem uma alternativa mais prática de obter o diploma do ensino médio. Algo mais simples, por exemplo, que alguns cursos supletivos regulares.

                            Você sabia…

    A Torre de Hanói é um dos quebra-cabeças matemáticos mais populares. Ele foi inventado por Edouard Lucas em 1883.

1.        Peças

As peças são n discos de tamanhos diferentes e todos com um furo em seu centro e três pinos onde são colocados os discos. Certamente podem ser encontrados em qualquer loja de brinquedos.

2.        Regras e objetivos do jogo

Inicialmente os discos formam uma torre onde todos são colocados em um dos pinos em ordem decrescente de tamanho.

Devemos transferir toda a torre para um dos outros pinos de modo que cada movimento é feito somente com um disco, nunca havendo um disco maior sobre um disco menor.

3.       A Pergunta que será calada

Queremos saber qual é o menor número de movimentos necessários para

 resolver uma torre de Hanói com n discos Há uma história (imaginada pelo próprio Edouard Lucas) sobre a torre de Hanói:

No começo dos tempos, Deus criou a Torre de Brahma, que contém três pinos de diamante e colocou no primeiro pino 64 discos de ouro maciço. Deus então chamou seus saserdotes e ordenou-lhes que transferissem todos os discos para o terceiro pino, seguindo as regras acima. Os sacerdotes então obedeceram e começaram o seu trabalho, dia e noite. Quando eles terminarem, a Torre de Brahma irá ruir e o mundo acabará.

É preciso de dois elevado a n movimentos para resolver o problema da torre de Hanói com n discos. Ou seja, os sacerdotes precisarão de 2 (64) dois elevado a 64 menos um que é igual 18.446.744.073.709.551.615 movimentos. Mesmo se eles fizessem um movimento por segundo, eles precisariam de mais de 500 bilhões de anos!! Podemos ficar tranqüilos por enquanto.

                            Você sabia…

         

O grande Leonard Euler afirmou que não há soluções inteiras positivas para a equação X4 + y4 + z4 = w4. Durante 200 anos ninguém conseguiu demonstrar isto. Parecia ser uma afirmação verdadeira uma vez que também ninguém pode provar que era falsa. Entretanto, Noam Elkies da Universidade de Harvard trabalhando com um potente computador encontrou 26824404+153656394+187967604 = 206156734 A afirmação de Euler é falsa!

                Você sabia…

              p é   aproximadamente:

3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066…?



 Relação dos alunos aprovados para 2ª fase da OBMEP - 2014

Classificados - Nível 3 (31 alunos) OBMEP  2014

	Código	Nome do Aluno	Sala de Prova na 2a Fase
1	CE23235675301553	ALEX DOS SANTOS LIMA	Sala-03
2	CE23235675302697	ANA KAROLINE DE SOUSA GALVAO	Sala-09
3	CE23235675300470	ANDREA CAMILA SOUSA SILVA	Sala-09
4	CE23235675300019	ANTONIA ELIDIANE DE MOURA	Sala-04
5	CE23235675301528	ANTONIO JAILSON ROCHA MARQUES	Sala-04
6	CE23235675302399	BRUNA MENDES FORTE	Sala-06
7	CE23235675305455	CLAYSSON LIMA ALMEIDA	Sala-09
8	CE23235675301127	DANIEL DE AMARAL DA SILVA	Sala-05
9	CE23235675302594	DANRLEY ALVES DE GOES	Sala-08
10	CE23235675300184	FRANCISCO MARCOS JUVENCIO ALVES	Sala-05
11	CE23235675302454	FRANCISCO VANDERLEI R LIRA JUNIOR	Sala-06
12	CE23235675305492	HUDSON MOREIRA BEZERRA	Sala-07
13	CE23235675300330	IOHANA MELO RODRIGUES	Sala-04
14	CE23235675304396	ISAAC JEFFERSON SOUSA SABOIA	Sala-10
15	CE23235675302510	ISADORA SOUZA GRANATO	Sala-07
16	CE23235675300275	JOELSON CAVALCANTE DA SILVA	Sala-03
17	CE23235675305546	JOSE LUCAS DE LIMA SILVA	Sala-05
18	CE23235675303380	KLECIO AMORIM DA ROCHA MARTINS	Sala-08
19	CE23235675303525	LAIS DE OLIVEIRA SILVA	Sala-07
20	CE23235675305327	LUIZ HENRIQUE PEIXOTO PEREIRA	Sala-06
21	CE23235675300251	MARCOS ERIALDO MOREIRA SOUSA	Sala-10
22	CE23235675301619	MARIA THAYNE RIBEIRO SOUSA	Sala-03
23	CE23235675302168	MATEUS MAGALHAES DOS ANJOS	Sala-05
24	CE23235675301530	MATHEUS BASTOS MARTINS	Sala-08
25	CE23235675302375	MICHAEL DOUGLAS RIBEIRO SALES	Sala-06
26	CE23235675305480	RAUL RODRIGUES MAGALHAES	Sala-03
27	CE23235675302533	SUELANE BRANDAO DUTRA	Sala-10
28	CE23235675301644	VENICIO RIBEIRO DE SOUSA	Sala-07
29	CE23235675302650	VERONIKA SOTLAR	Sala-10
30	CE23235675301541	WASHINGTON LUIZ DE SOUZA BRAGA	Sala-08
31	CE23235675301516	WILLIAN VICTOR DA ROCHA SILVA	Sala-09

Função Módular

                   FUNÇÃO MODULAR

      A função modular tem várias aplicações no cotidiano, como por exemplo a aplicação em comparação das temperaturas entre duas ou mais cidade, na Física, na Química na Geografia entre outras.
     Todos os alunos deverão ler a teoria e depois copiar e resolver as atividades.

Para entender função modular - tema que cai nos vestibulares e no Enem - devemos compreender o que é módulo. Em seguida, através de exercícios, resolveremos algumas equações modulares e falaremos sobre a função modular: 

O que muda ao inserirmos um módulo à função? Assunto mais adiante

Módulo

Antes de falar da função modular, vamos relembrar a definição e como calcular o módulo de um número. O módulo é a distância de um determinado número até o zero. Por exemplo, o módulo de 13 é a distância entre o 13 e o 0. Para nos deslocarmos do 13 ao 0, andaremos 13 unidades. Portanto, o módulo de 13 é igual a 13. Ou ainda: |13| = 13. Sendo assim, qual será o módulo de -13? Bem, a distância do -13 ao zero é também de 13 unidades. Então, |-13| = 13.

Módulo de um número real

O módulo ou valor absoluto de um número real x é representado por |x|, que lemos: módulo de x.

1º - Se x for um número real positivo o módulo de x será o próprio x.
2º - Se x for um número real negativo o módulo de x será o x positivo.

Resumindo | - x | = x
                   | x | = x

 Obs: O módulo pode ser interpretado como a distância, na reta real, de um número real  x  a origem (zero)

Considere a reta real:

Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (distância do ponto até o zero) de módulo ou valor absoluto.

Assim, a distância do ponto 4 à origem é 4. Dizemos que o módulo de 4 é igual a 4. E representamos por |4| = 4
    Da mesma forma, a distância do ponto  -2  à origem é  2, ou seja, o módulo de  -2  é 2, pois não há sentido em considerarmos distâncias negativas. Assim:  |-2| = 2
Exemplos:
|3| = 3                      |-18| = 18                     |-20| = 20                  |30| = 30
|-7| = 7                    |0| = 0                           |-100| = 100 

Outros exemplos:
a) |-3| = 3                           b) |-8| = 8                     c) |7| = 7                  d) |10| = 10
                               1ª Atividade:

1 - Calcule o valor de cada expressão modular:
a) |-10 - 20 - 30|           b) | -3 + 4 - 5 + 6 - 7|

2 - Determine:
a) |-4 + 8| + |-10 + 20|                 b) | 9 - 10 + 11| + | -7 + 6 |           
                        
 3 - Seja a função modular f: R  em  R definida por f(x) = |2x - 10|, calcule
a) f(-3)                      b) f(-5)                            

4 - Seja f(x) = | x - 1 | + | x - 3 |, determine o valor de:
a) f(-3)                  b) f(-11)                      

5 -A estrada que liga Recife a Caruaru tem 240 km de extensão e será recuperada em três etapas. Na primeira etapa, será recuperado 1/6 da estrada e na segunda etapa 1/4 da estrada. Quantos quilômetros será recuperada na terceira etapa?

6 - A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho. Daqui a cinco anos, a idade do pai será o triplo da idade do filho. Qual é a idade atual de cada um?

Propriedades do Módulo de Números Reais 

1º) Para quaisquer valores reais de x temos as seguintes propriedades:
 







2º) Para a e b reais temos as seguintes propriedades:
a)

b)  para

c)

Gráfico de uma função modular:  f(x) = | x  |
Gráfico da função modular:  f(x) = | x |        x   |   y
Observe: x = -2 temos f(x) = 2,                  -2  | 2
               x = -1  temos f(x) = 1,                 -1   |  1
               x = 1 temos  f(x) = 1                  0    | 0  (raiz)
              x = 2  temos  f(x) = 2                   1     |  1
                                                                  2   |  2


Observe o esboço do gráfico da função f(x) = |2x + 6|

1º -Raiz da equação 2x + 6 = 0, temos 2x = -6 teremos x = -3 Para  x = -3  temos  f(x) = 0
           x = -4 temos f(x) = 2                    x        |        y
          x = -1 temos  f(x) = 4                  -5         |        4
          x = 0   temos  f(x) = 6                -4         |        2
                                                                  -3        |        0
                                                                  -2        |        2
                                                                  -1        |        4  
(Foto: Colégio EEEP Antônio Valmir da SilvaVamos esboçar o gráfico de g(x) = | x² - 5x + 4|:

De início, o esboço do gráfico sem o módulo: h(x) = x² - 5x + 4:

Raízes da equação h(x) são 1   e   4.  O valor de  c  é  c = 4  

(Foto: EEEP Antônio Valmir da Silva)

Agora aplicando o módulo (a parte que está negativa sobe), teremos o gráfico a seguir

(Foto: EEEP Antônio Valmir da Silva)

Veja o gráfico da função f(x) = |x² - 4|  (legal)
Raízes são x² - 4 = 0, temos que x² = 4 ou x = -2 e x = 2 (pontos no eixo x)
 x |  y                        x   |  y
-4   |   12                                           0    |   4
-3   |   5                                            1     |    3
-2   |   0 (raiz)                                   2     |    0
-1   |  3                                             3     |   5
0     | 4                                              4     |  12

 2ª Atividade.

1 - Construir o gráfico da função modular f(x) = |2x - 6|, determinando o domínio e o conjunto imagem.



Equação modular: São equações que apresenta o módulo

a)  | x | =  4                          b) | x - 2 | =  8                            c) | 2x - 1 |  = x + 2

Obs: 1º) |ax + b| = k, temos que k ≥ 0
        2º) Não existe solução quando |ax + b| = - k

Solucionando Equações Modulares 

Seja a equação  |ax + b| = k
temos  ax + b = k  ou 
ax + b = -k

Resolver uma equação modular é encontrar valores para a incógnita que venha satisfazer na equação
1 -  Resolver a equação modular
|x + 2| = 4 
Condições: 
1º) x + 2 = 4             ou              2º) x + 2 = – 4 
Resolução: 
x + 2 = 4 → x = 4 – 2 → x = 2 
x + 2 = – 4 → x = – 4 – 2 → x = – 6 

S = {–6; 2} 

2  -  Resolver a equação modular


Condições:
1º) 3x + 5 = 17          ou       2º)    3x + 5 = -17
Resolução




S = (-22/3 ; 4)

3 - Resolver a equação modular
|2x - 10| = 16
Condições:

1º) 2x - 10 = 16              ou  2º)  2x - 10 = -16

Resolução
2x - 10 = 16  temos 2x = 16 + 10 logo 2x = 26 assim x = 13

2x - 10 = -16 temos 2x = -16 + 10 logo 2x = -6 assim x = -3
                               3ª Atividade

1 - Resolva as equações modulares:
a) |x - 7| = 10         b) |2x - 10| = 2    c) |3x + 3| = 5  

Inequação modular
Quando temos a inequação  
|x| < a, logo x < a ou x > -a
                                       
|x | > a, logo x > a ou x < -a

Observe a resolução da inequação |x - 4 | > 10.

1º  x - 4 > 10  logo x > 10 + 4  assim  x > 14

2º  x - 4 < -10  logo x < -10 + 4 assim x < -6

S = {x  R/ x < -6  ou x > 14}

4ª Atividade

1 - Resolva as inequações modulares:
a)  |2x - 3 | > 17                     b) |3 + 2x| < 11  

Aplicação da Matemática

A Matemática está presente nas construções civis, na economia, na informática e em várias outras áreas do conhecimento.

POTENCIAÇÃO

                    Potenciação

Potenciação - é a operação de elevar um número a uma dada potência. 

Obs:

Note que temos o número dois ( base ) com o número três (expoente) sobrescrito à sua direita ( 2³ ). 

   Dizemos que o número 2 está elevado à terceira potência, ou ainda que 2³ é a terceira potência de 2.

Nesta potência o número 2 é a sua base e ao número 3 é o expoente.

   Esta potência representa a multiplicação de três fatores iguais a dois, então 2³ é igual a  2 _^. 2 _^. 2  que é igual a 8.

   Potências com expoente 2 ou 3 possuem uma outra forma particular de leitura. A potência 2³ também pode ser lida como dois ao cubo, assim como a potência 3² pode ser lida como três ao quadrado.

Potências de Base Real com Expoente Inteiro

Nestas condições há quatro situações em particular que iremos tratar. A saber, quando o expoente é maior que um, quando é igual a um, quando é igual a zero e quando é negativo.

Expoente maior que 1

De forma geral:

, isto é, a multiplicação de  n  fatores iguais a  "a".

Este é o caso de mais fácil compreensão, pois o conceito da exponenciação está bem claro. Observe a expressão abaixo:

Expoente igual a 1

Todo número elevado a 1 é igual ao próprio número:

Expoente igual a 0 (zero)

Todo número, diferente de zero, elevado a 0 é igual a 1:

Obs: 0⁰ é indeterminado, embora em algumas situações convenciona-se que seja igual a 1. Para qualquer outro expoente real n positivo, temos que 0ⁿ = 0.

Expoente negativo

Qualquer número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual ao inverso deste número elevado ao oposto do expoente:

Vejamos agora a explicação onde se baseiam estes três últimos conceitos explicados acima.

Propriedades das potências de base real com expoente inteiro

Multiplicação de potências de mesma base

A multiplicação de potências de mesma base é igual a esta base elevada à soma dos expoentes.

Generalizando:

Divisão de potências de mesma base

A divisão de potências de mesma base, diferente de zero, é igual a esta base elevada à diferença dos expoentes.

Generalizando temos:

Note que a base a deve ser diferente de 0, pois como sabemos não existe quociente real para a divisão por zero neste conjunto numérico.

Obs: a⁰ = 1

Para todo número a real, com a diferente de zero, temos:

É por isto que todo número, diferente de zero, elevado a 0 é igual a 1:

Potência de um produto

A potência do produto de dois ou mais fatores é igual ao produto de cada um destes fatores elevados ao expoente em questão:

Vamos tomar como exemplo o produto de três fatores distintos elevados ao cubo:

Não custa nada fazermos uma verificação só para conferir:

Potência de um quociente

Podemos proceder de forma análoga ao que fizemos no caso da multiplicação, mas neste caso os divisores não podem ser iguais a zero:

Potência de um expoente fracionário

Podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical:

Exemplo:

Potência de uma potência

Novamente para uma base diferente de zero podemos expressar a seguinte igualdade:

Vamos como de costume recorrer a um exemplo:

E agora vamos verificar a veracidade desta propriedade:

1ª Atividade

1 - Calcule:

a)  3³ + 2³                c)(2/3)³              c) (- 2)³ - (-2)³                    

2 - Aplicando as propriedades, determine:

a)  (2³).(2⁴).(2^-5)      b) (10³).(10^-4).(10¹⁰)   

3)   Calcule: 

a)           b)     c)

 Desafios curiosos - NÃO precisa copiar

Cozinhar um bolo

1 - Como medirias os 11 minutos que são 

necessários para cozinhar um bolo, com duas 

ampulhetas de 8 e 5 minutos respectivamente?

                     

2 - Buscando água, uma rã caiu em um poço de 30 

metros de profundidade. Na sua busca por 

sobrevivência, a obstinada rã conseguia subir 3 

metros cada dia, sendo que a noite resbalava e 

descia 2 metros. Quantos dias a rã demorou para sair 

do poço?

3 - Dois pais e dois filhos foram pescar. Cada um pescou um peixe, sendo que ao todo foram pescados 3 peixes. Como isso é possível?

4 - Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos xy e yx, cuja soma é o número de três algarismos zxz. Quanto valem x, y e z?

5 - O vovô "Controlado" tinha muitos netos. No 

Natal, resolveu presenteá-los com um dinheirinho. 

Separou uma quantia em dinheiro e percebeu que, se 

ele der R$ 12,00 a cada garoto, ainda ficará com R$ 

60,00. Se ele der R$ 15,00 a cada um, precisará de 

mais R$ 6,00. Quantos netos o vovô  

"Controlado" tem?

6 - Divida o vinho entre os viajantes

Dois amigos bêbados compraram 8 litros de vinho. Eles estavam caminhando, e na metade do caminho, decidem separar-se, repartindo antes o vinho igualmente. 

Para realizar as medidas há um barril de 8 litros (onde está o vinho), uma vasilha de 5 e outra de 3 litros. Como eles podem fazer para repartir igualmente o vinho?

7 - Uma garrafa com sua tampa custa R$ 1,10. Sabendo que a garrafa custa R$ 1,00 a mais que a tampa, qual é o preço da tampa da garrafa? E qual é o preço da garrafa?

8 - Os Relógios

Um homem tem dois relógios. Um deles não anda e o outro 

atrasa uma hora por dia. Qual deles mostrará mais 

freqüentemente a hora certa?

9 - Elevei um número positivo ao quadrado, subtraí do resultado o mesmo número e o que restou dividi ainda pelo mesmo número. O resultado que achei foi igual:

a) Ao próprio número
b) Ao dobro do número
c) Ao número mais 1
d) Ao número menos 1

10 - A matemática e a música

11 - 

12 - 

13 - 

14 - 

Origem dos algarismos Indu-arábicos

15 -

Você acha fácil dobrar uma folha de papel? Que tal tentar dobrá-la 50 vezes?

Aqui está a folha...	Dobrando 1 vez...
Dobrando 2 vezes...	Dobrando 3 vezes...
Dobrando 4 vezes...	Dobrando 5 vezes...
Dobrando 6 vezes...	...

Você pode até conseguir dobrar 7 ou 8 vezes, mas nada além disso. Porém, por incrível que pareça, se você conseguisse dobrar a folha 50 vezes, ela apresentaria uma espessura aproximadamente igual à distância da Terra à Lua.

Observação: para dobrar uma folha 50 vezes ela deveria ter mais de 4.000.000 Km de comprimento!

16 - 

Vamos imaginar que dobramos um enorme 

pedaço de papel ao meio. Depois dobramos 

mais uma vez, e outra vez, e assim por diante. 

Quantas vezes conseguimos dobrar o nosso 

pedaço de papel?

.

Normalmente conseguimos dobrar uma folha 

A4 apenas 6 vezes e dificilmente se 

consegue dobrar um pedaço maior mais do 

que 7 vezes. Experimentem!

.
Mas vamos imaginar que conseguimos 

dobrar um pedaço de papel 51 vezes. No final 

qual seria a espessura do nosso papel? Dez 

centímetros? 50 centímetros? Um metro? 

Cinquenta metros? Um quilômetro?

.
A resposta é mais de 150.000.000 km! Sim, 

cento e cinquenta milhões de quilômetros! No 

final obteríamos uma torre que se estenderia 

para lá do Sol!
.
Quando dobramos o papel a primeira vez 

obtemos uma espessura duas vezes maior do 

que a da folha inicial. Quando dobramos a 

segunda vez será quatro vezes mais espesso. 

Cada vez que dobramos uma vez duplicamos 

a espessura em relação ao dobramento 

anterior. Depois dos primeiros dobramentos 

os números tornam-se imediatamente muito 

grandes. Vamos ver como:
.

Primeira dobra...2 folhas

Segunda dobra... 4 folhas

3ª - 8 folhas

4ª - 16 folhas

5ª - 32 folhas

6ª - 64 folhas

7ª - 128 folhas

8ª - 256 folhas

………….

40ª - 1.000.000.000.000 folhas

…………

50ª - 1.000.000.000.000.000 folhas 

(espessura=100.000.000 km)

51ª – Espessura = 200.000.000 km

.

E passamos o Sol!

.

(Distância da Terra ao Sol = 149.597.871 km