OLIMPÍADA INTERNA DE MATEMÁTICA - 2014

Trigonometria no Triângulo Retângulo

Matemática

Matemática

A Matemática é uma ciência que relaciona o entendimento coerente e pensativo com situações práticas habituais. Ela compreende uma constante busca pela veracidade dos fatos através de técnicas precisas e exatas. Ao longo da história, a Matemática foi sendo construída e aperfeiçoada, organizada em teorias válidas e utilizadas atualmente.
Ela prossegue em sua constante evolução, investigando novas situações e estabelecendo relações com os acontecimentos cotidianos.

É considerada uma das ciências mais aplicadas em nosso cotidiano. Um simples olhar ao nosso redor e notamos a sua presença nas formas, nos contornos, nas medidas. As operações básicas são utilizadas constantemente, e os cálculos mais complexos são concluídos de forma prática e adequada de acordo com os princípios matemáticos postulados.

Possui uma estreita relação com as outras ciências, que buscam nos fundamentos matemáticos explicações práticas para suas teorias. Dizemos que a Matemática é a ciência das ciências.
Determinados assuntos ligados à Química, Física, Biologia, Administração, Contabilidade, Economia, Finanças, entre outras áreas de ensino e pesquisa, utilizam das bases matemáticas para estabelecerem resultados concretos e objetivos.

Atualmente a Matemática é subdividida, dessa forma constatou-se que ficaria mais fácil o seu aprendizado. Podemos organizá-la da seguinte forma:

Aritmética
Álgebra:
Conjuntos Numéricos
Equações
Equações Algébricas
Funções
Sistemas Lineares
Progressões
Análise Combinatória
Probabilidade e Estatística
Matemática Financeira
Trigonometria
Geometria Plana
Geometria Espacial
Geometria Analítica
Cálculos

Um pouco da História da Trigonometria

Alunos do T.E. I . 1 - Ler em 22/10/15 - NÃO copiar

A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. 
O astrônomo Hiparco de Nicéia, por volta de 180 a 125 a.C., ganhou o direito de ser chamado "o pai da Trigonometria" pois, na segunda metade do século II a.C., fez um tratado em doze livros em que se ocupou da construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo.
A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.
Algumas aplicações da trigonometria são:

• Determinação da altura de um certo prédio.
  
•  Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.
• Seria impossível medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.

 

•  
• Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
• Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.

Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.

Ângulos e instrumentos

Transferidor

Teodolito Digital

É impossível olhar para o mundo à nossa volta sem, em algum instante, deparar com um ângulo.

Existem instrumentos adequados para medir ângulos. O transferidor é comumente utilizado por desenhistas e projetistas. Na época em que a navegação baseava-se na posição dos astros, para medir os ângulos os navegantes utilizavam o astrolábio. Atualmente, agrimensores e topógrafos utilizam o teodolito.

Astrolábio

Observe aluno(a)s T.E 1 - Não copiar
Trigonometria no Triângulo Retângulo

 

 
senC = c/a ,     senB = b/a  ,              cosC = b/a ,      cosB = c/a ,      tgC = c/b                   tgB = b/c     

Triângulo é o mais importantes da Geometria, ele é objeto de estudos desde os povos antigos. O triângulo possui propriedades e definições de acordo com o tamanho de seus lados e medida dos ângulos internos. 

Quanto aos lados, o triângulo pode ser classificado da seguinte forma:
Equilátero: possui os lados com medidas iguais.

Isósceles: possui dois lados com medidas iguais.

Escaleno: possui todos os lados com medidas diferentes.

Quanto aos ângulos, os triângulos podem ser denominados:

Acutângulo: possui os ângulos internos com medidas menores que 90º

Obtusângulo: possui um dos ângulos com medida maior que 90º.

Retângulo: possui um ângulo com medida de 90º, chamado  ângulo reto. 


Tebela dos ângulos notáveis



Curiosidade - Tabela trigonométrica





Observe as questões resolvidas.  Não copiar
1 --
 

 2 -

3 - Um avião levanta voo em um ângulo de 30° em relação à pista. Qual será a altura do avião quando estiver percorrendo 4 000 m em linha reta?

   Exercício 1 - Copiar e resolver, 5 questões, em 22/10/15

1 - No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas (Use: sen 65° = 0,91; cos 65° = 0,42 ; tg 65° = 2,14)

 

2 - Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas. (Sen 60° = 0,866)

3 - Encontre a medida AR sabendo que tg  = 3.

4 -



5 -  Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30°. Depois de percorrer 8 km, o avião se encontra a
uma altura de:
a)2 km                b)3 km                         c)4 km                     d)5 km

Agora são desafios e curiosidades - Não   copiar

1 - Como conseguir esta igualdade colocando entre os nove primeiros algarismos sinais aritméticos?

1     2       3      4      5     6      7      8      9    =  10

2 - Como conseguir essas igualdades colocando os sinais de + ; - ; x ; :  ?

2             2               2              2    =  0

2             2               2              2   =  1

2             2               2              2  =   2

2             2               2              2   =  3  

2             2               2              2   =  4

2             2               2              2 =    5

2             2               2              2  =   6

Quase   impossível

3 - José e João, dois amigos de infância se encontram depois de muitos anos e começam a conversar...

José - Quantos filhos você tem João?

João - Somente três.

José - Qual a idade deles?

João - A multiplicação das idades deles dá 36...

José - Tá difícil... dê mais uma dica...

João - Tá bem... a soma da idades deles é igual ao número daquela casa ali...

José foi até próximo da casa apontada, viu qual era o número e voltou, dizendo:

José - Ainda é impossível de responder com certeza...

João - Tá certo... o mais velho toca piano...

José - Já sei... as idades são : _ _ _

Quais são as idades dos filhos de João???

 

  4 - O teste de Einstein

 Aproveitando os 100 anos da pesquisa atômica de Einstein lhes mando o seguinte desafio.

 Este teste teria sido criado pelo cientista Albert Einstein. Para ele, apenas 2% da população mundial teria QI suficiente para resolvê-lo. O teste consta o seguinte (1) há cinco casas de cores diferentes, (2) em cada casa mora um homem de distinta nacionalidade e (3) nenhum deles fuma a mesma marca de cigarro ou bebe a mesma bebida ou tem o mesmo animal de estimação.

Para entrar no seleto grupo dos 2%, você precisa descobrir qual dos cinco homens tem peixes como animais de estimação.

 Dicas:

*O inglês mora na casa vermelha.

*O sueco tem cachorros como animais de estimação.

*O dinamarquês bebe chá.

*A casa verde fica ao lado esquerdo da casa branca.

*O homem da casa verde bebe café.

*O homem que fuma Pall Mall cria pássaros.

*O da casa amarela fuma Dunhill.

*O homem que mora no centro bebe leite.

*O norueguês mora na primeira casa.

*O homem que fuma blends mora do lado do que tem gatos.

*O homem que cria cavalos mora ao lado do que fuma Dunhill.

*O homem que fuma Blue master bebe cerveja.

*O alemão fuma Prince.

*O norueguês mora ao lado da casa azul.

*O homem que fuma Blends é vizinho do que bebe água.

 5 -               Você sabia…

         

O grande Leonard Euler afirmou que não há soluções inteiras positivas para a equação X4 + y4 + z4 = w4. Durante 200 anos ninguém conseguiu demonstrar isto. Parecia ser uma afirmação verdadeira uma vez que também ninguém pode provar que era falsa. Entretanto, Noam Elkies da Universidade de Harvard trabalhando com um potente computador encontrou 26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734 A afirmação de Euler é falsa!

     6 -            Você sabia…

              pi   é   aproximadamente:

3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066…?

      

7 - 

Você sabia…   que são conhecidos 51539600000 casas decimais de p, calculadas por Y. Kamada e D. Takahashi, da Universidade de Tokio em 1997? E que em 21/8/1998 foi calculada pelo projeto Pihex a 5000000000000a. casa binária de p ? Consulte a home-page http://www.cecm.sfu.ca/pi

COMO CONSEGUIR ESTAS

               IGUALDADES COLOCANDO

               ENTRE OS  5,  SINAIS

               ARITMÉTICOS?

          5     5     5     5  =  3

          5     5     5     5  = 5

          5     5     5     5  =  6

          5     5     5     5  =  26

          5     5     5     5  =  30

          5     5     5    5  =  50

          5     5     5     5  =  55

          5    5     5     5  =  120

         8 -                             

Função Logarítmica

Estudar é importante para o desenvolvimento intelectual, social e profissional

• Estudar é importante não apenas para ter uma profissão e conseguir um emprego. Quanto mais conhecimentos você adquire, mais preparado está para viver em sociedade e enfrentar os desafios que surgem ao longo da vida.

O que é ser estudante?

 Ser estudante é a busca constante de saberes, é o prazer de devorar livros pelo simples gosto das descobertas. Todo dia devemos entender que a maior escola é você mesmo. Quando você se recusa de  buscar novas descobertas tem outros que não cansa de continuar lutando.

                   FUNÇÃO  LOGARÍTMICA

Um problema que resolve com a função logarítmica e com o uso de cálculo (curso superior)                                                          Leitura. Mínimo 50 minutos - 

turma T.E  1     (24/09/15) 

NÃO  É  PARA  COPIAR

Observe um problema de aplicação de logaritmo

1 - O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto às 23 horas. O médico da polícia chegou às 23:30 e imediatamente tomou a temperatura do cadáver, que era de 34,8 graus. Uma hora mais tarde ele tomou a temperatura outra vez e encontrou 34,1 graus. A temperatura do quarto era mantida constante a 20 graus. Admitindo que a temperatura normal de uma pessoa viva é de 36,5 graus, estime a hora em que se deu a morte. 

APLICAÇÃO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Os alunos T.E  1    leem em 24/09/15

 NÃO  precisa copiar. Ver como existe muitas aplicações de logaritmo

1ª) A escala Richter foi desenvolvida por Charles Richter e Beno Gutenberg, no intuito de medir a magnitude de um terremoto provocado pelo movimento das placas tectônicas.

A magnitude (graus) é o logaritmo da medida das amplitudes (medida por aparelhos denominados sismógrafos) das ondas produzidas pela liberação de energia do terremoto.

A fórmula utilizada é a seguinte:

M = log A - log A₀  

onde 

M é a magnitude, 

A é a amplitude máxima, 

A₀ é uma amplitude de referência.

Para calcular a energia liberada por um terremoto, usamos a seguinte fórmula: 

I = (2/3).log(E/E0)

 Onde I varia de 0 a 9, E é a energia liberada em kW/h  e    E₀ = 7.10^-3kW/h

A intensidade do som

A classificação do som como forte ou fraco está relacionada ao nível de intensidade sonora, medida em watt/m².

ESCALA DECIBEL: cálculo da quantidade de decibéis de um som, dado por , onde I₀ = 10^-12 W/m²       e que é a menor intensidade do som captado pelo ouvido humano.

  3ª)    O pH de uma substância

   .

 NÃO  precisa copiar

Logaritmo

Os logaritmos criados por John Napier e Jobst Burgi, e 

posteriormente adaptados por Henry Briggs, possuem a 

seguinte lei de formação: 

log_ab = x, onde: 

a = base do logaritmo 

b = logaritmando 

x = logaritmo 

O logaritmo de um número b em uma base a é o expoente x 

que se deve aplicar à base a para se ter o número b. Dessa 

forma: 

log_ab = x ↔ a^x = b

Exemplos: 

log₃9 = 2 , pois 3² = 9 
log₁₀100 =2, pois 10² = 100 
log₂16 =2, pois 2⁴ = 16 
log₉81 =2, pois 9² = 81 

Exemplos:
a) log100 = 2 porque 10² = 100. 
b) log1000 = 3 porque 10³ = 1000. 
c) log2 = 0,3010 porque 10^0,3010 = 2. 
d) log3 = 0,4771 porque 10^0,4771 = 3. 
e) ln e = 1 porque e¹ = e = 2,7183... 
f) ln 7 = log_e7

 NÃO  precisa copiar

Observação importante. log₁₀ A = log A

A partir dessa definição podemos apresentar algumas 

definições que auxiliarão no desenvolvimento de algumas 

situações envolvendo logaritmo. Veja: 

O logaritmo do número 1 em qualquer base sempre será 

igual a 0. 

** log_a1 = 0, pois a⁰ = 1 

O logaritmo de qualquer número a na própria base a será 

igual a 1. 

** log_aa = 1, pois a¹ = a 

O logaritmo de uma potência da base é o expoente, em 

qualquer base. 

** log_aa^m = m, pois m * log_aa = m * 1 = m 

A potência de base a e expoente logab é igual a b. 

** a^log_ab = b, pois log_ab = x → a^x = b 

Dois logaritmos são iguais, quando seus logaritmandos 

forem iguais. 


** log_ab = log_ac ↔ b = c

 NÃO  precisa copiar

Usando uma calculadora científica é possível verificar a 

tabela abaixo (Conhecida como tábua dos logaritmos)

TABELA DE LOGARITMOS DECIMAIS

nº	log		nº	log
1	0		50	1,69897
2	0,30103		51	1,70757
3	0,477121		52	1,716003
4	0,60206		53	1,724276
5	0,69897		54	1,732394
6	0,778151		55	1,740363
7	0,845098		56	1,748188
8	0,90309		57	1,755875
9	0,954243		58	1,763428
10	1		59	1,770852
11	1,041393		60	1,778151
12	1,079181		61	1,78533
13	1,113943		62	1,792392
14	1,146128		63	1,799341
15	1,176091		64	1,80618
16	1,20412		65	1,812913
17	1,230449		66	1,819544
18	1,255273		67	1,826075
19	1,278754		68	1,832509
20	1,30103		69	1,838849
21	1,322219		70	1,845098
22	1,342423		71	1,851258
23	1,361728		72	1,857332
24	1,380211		73	1,863323
25	1,39794		74	1,869232
26	1,414973		75	1,875061
27	1,431364		76	1,880814
28	1,447158		77	1,886491
29	1,462398		78	1,892095
30	1,477121		79	1,897627
31	1,491362		80	1,90309
32	1,50515		81	1,908485
33	1,518514		82	1,913814
34	1,531479		83	1,919078
35	1,544068		84	1,924279
36	1,556303		85	1,929419
37	1,568202		86	1,934498
38	1,579784		87	1,939519
39	1,591065		88	1,944483
40	1,60206		89	1,94939
41	1,612784		90	1,954243
42	1,623249		91	1,959041
43	1,633468		92	1,963788
44	1,643453		93	1,968483
45	1,653213		94	1,973128
46	1,662758		95	1,977724
47	1,672098		96	1,982271
48	1,681241		97	1,986772
49	1,690196		98	1,991226
			99	1,995635

Veja as propriedades abaixo:
 NÃO  precisa copiar

1°Propriedade:

---

2° Propriedade:

---

3° Propriedade:

Uma maneira de visualizar esta propriedade, e tentar decorá-la mais facilmente, é imaginando a figura abaixo:

Veja as questões resolvidas ALUNO(A)S  T.E  1   em  24/09/15  (Procure estudar essas questões resolvidas)

Não precisa copiar

1 - Dados log2 = 0,301 e log3 = 0,477, determine o valor de 

log12. 

log12 → log12 = log(2 * 2 * 3) → log12 = log2 + log2 + log3 

→ log12 = 0,301 + 0,301 + 0,477 → log 12 = 1,079 

2 - Se log 8 = 0,903 e log 70 = 1,845, então log 14 é igual a:          

a) 1,146


b) 1,164


c) 1,182


d) 1,208


e) 1,190

Solução:

Observe que 14 = 2x7. Portanto,


log 14 = log (2.7) = log 2 + log 7

Como log 8 = 0,903, poderemos escrever:

log 2³ = 0,903 \ 3.log 2 = 0,903 \ log 2 = 0,903/3
log 2 = 0,301

Como log 70 = 1,845, poderemos escrever:

log 70 = log (7.10) = log 7 + log 10 = 1,845

Como o logaritmo decimal de 10 é igual a 1, ou seja,

log 10 = 1, vem imediatamente por substituição:

log 7 + 1 = 1,845 \ log 7 = 0,845.

Finalmente, log 14 = log (2.7) = log 2 + log 7

log 14 = 0,301 + 0,845 = 1,146log 14 = 1,146

3 - As indicações R₁ e R₂, na escala Ritcher, de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula
R₁ – R₂ = log(M₁/M₂), onde M₁ e M₂ medem a energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um correspondente a R₁ = 8 e outro correspondente a R₂ = 6.
Então, a razão (M₁/M₂) vale:a) 100
b) 2
c) 4/3
d) 10
e) 1

Solução:

Decorre imediatamente do enunciado que:
8 – 6 = log (M₁/M₂) = 2.
Logo, (M₁/M₂) = 10² = 100.

Observe agora a questão 4

4 - Se log 8 = a então log 5 vale:

a) a³
b) 5 a – 1
c) 1 + a/3
d) 2 a/3
e) 1 – a/3

Solução:

Podemos escrever:
log 2³ = a  \ 3.log 2 = a  \ log 2 = a/3

Ora, 5 = 10/2 e, portanto,
log 5 = log(10/2) = log 10 – log 2 = 1 – a/3.log 5 = 1 – a/3

Veja as equações resolvidas ALUNOS da turma T.E 1   em (24/09/15)  não copiar

2 -  Encontre a solução da equação

Solução: Pela definição de logaritmo temos:

5x + 2 = 3³
5x + 2 = 27
5x = 27 – 2
5x = 25
x = 5

Portanto S = {5}.

3. Equação que é necessário fazer uma mudança de 

incógnita.

Observe a resolução da equação  -- NÃO COPIAR 

Solução: Vamos fazer a seguinte mudança de incógnita

Substituindo na equação inicial, ficaremos com:

Tipo 4. Equações que utilizam as propriedades do logaritmo 

ou  mudança de base.

O conjunto solução da equação logaritmica  é:

     (A) {-1; 2}
     (B) {-2; 1}
     (C) {-2}
     (D) {1}
     (E) { }

Resolução

Começamos aplicando apenas a equivalência fundamental: Agora é só aplicar a fórmula de Bhaskara. Chegando no valor de x devemos TESTAR AS SOLUÇÕES, como dito na única regra de resolução de equações logaritmicas. Verificação, para : , OK para : , OK Portanto, as duas respostas são válidas. E a alternativa correta é a letra "B"

---

2) O número real x que satisfaz a equação  é:

     (A) 
     (B) 
     (C) 
     (D) 
     (E) 

Resolução

Aplicamos a equivalência fundamental: Agora caímos em uma equação exponencial do tipo II. Efetuando a troca de variáveis , temos: Aplicamos Bhaskara e chegamos em: Agora voltamos para x utilizando novamente a troca de variáveis feita inicialmente  :  Absurdo!  Aplicamos a equivalência fundamental, Agora devemos testar esta solução na equação original do enunciado. Substituindo este valor de x na equação: Aplicamos a 4° conseqüência da definição do logaritmo: Aplicamos a 3° propriedade operatória , OK. É válida! Resposta correta, letra "E".

---

3) A equação  tem duas raízes reais. O produto dessas raízes é:
     (A) 
     (B) 
     (C) 
     (D) 
     (E) 
Resolução

Esta equação já envolve um truquezinho, igual às equações exponenciais do tipo II. Começamos vendo que o 9 na equação pode virar 3². E aplicamos a 3° propriedade operatória: O pulo do gato vem agora. Devemos ver que os dois logaritmos envolvidos na equação acima são um o inverso do outro (1° consequência da mudança de base). Agora devemos mudar a variável. Efetuamos a troca : Podemos multiplicar ambos os lados por y, ou efetuar MMC, tanto faz. Chegamos em: Aplicamos Bhaskara e chegamos em . Estes são os valores de y, o exercício quer os valores de x. Portanto, utilizamos a troca inicial novamente: para y=2:  para y=-1:  O produto destes dois valores (como pedido no enunciado) é . Resposta, letra "E".

Gráfico da função logarítmica.
 NÃO  precisa copiar

Observe com fica o gráfico da função logaritmica
Temos duas possibilidade

Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma:
Função crescente

Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma:
Função decrescente

Características do gráfico da função logarítmica y = log_ax 

O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0.

Intercepta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1.

Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a Im (imagem) = R.

Através dos estudos das funções logarítmicas, chegamos à conclusão de que ela é uma função inversa da exponencial.

ATIVIDADE PARA ALUNO(A)S T.E 1 em 

24/09/15.     Copiar e resolver

1 -  Resolva as equações logarítmica

_a) log_{2 (x - 1) = 3     b)} log_{3 (2x + 8) = 2        c)} log_{x (64) = 2}

2 - Sabendo que log2 = 0,30 e log3 = 0,47, determine o valor de:

a) log 120           b) log 12          c) log18            


3 - Se log 3 = 0,47  e log 5 = 0,69 , determine o valor de:

a) log15                b) log 45             c) log75


Obs: As questões 3 e 4, se quiser podem ser verificada 

consultando a  tabela acima (Tábua dos logaritmos)

4 - Resolva as equações exponenciais

A) 5 ^{x + 3 .} 5 ^{x + 2} . 5 ^x = 125

B) 2 ^{3x – 2} . 8 ^{x + 1} = 4 ^{x – 1} 

FIM DA ATIVIDADE PARA COPIAR, ALUNOS(A)S  T.E.1

5 - Qual o valor do montante produzido 

por um capital de R$ 1.200,00, 

aplicado no regime de juros simples a 

uma taxa mensal de 2%, durante 10 

meses?

Fim

1 -(ITA) Determine o valor de

  
1/log₂(100!) + 1/log₃(100!) + 1/log₄(100!) + ... + 

1/log₁₀₀(100!)

Obs: ! é o fatorial. Ex. 3! = 3.2.1 = 6,  5! = 5.4.3.2.1 = 120

2 -   Na compra de um aparelho obtive 

desconto de 20% por ter feito o 

 pagamento à vista. Se paguei 

R$ 96,00  reais pelo aparelho, qual era 

seu preço original?

  Agora aluno(a)s T.E. 1  são  


desafios, curiosidade e problemas de 

Matemática para  vocês leem e resolver só 

como desafios

 NÃO  precisa copiar

1 - Como se pode repartir igualmente para duas pessoas, 8 litros de vinho que estão em uma vasilha maior, sabendo-se que as pessoas possuem somente duas vasilhas vazias, uma com capacidade para 5 litros e outra com capacidade para 3 litros.

2 - Há 10 litros de vinho em 3 vasilhas, com capacidades iguais a 5 litros, 3 litros e 7 litros, respectivamente. A primeira contem 4 litros de vinho, a segunda está vazia e a terceira contem 6 litros de vinho.

Como se pode repartir em duas partes iguais o vinho, usando apenas estas três vasilhas?

3 - Com três 5 e as operações elementares, obtenha:

1. O número 0;
2. O número 1;
3. O número 2;
4. O número 4;
5. O número 5;

4 - Construa um Quadrado Latino 3x3, que é um quadrado 3x3, de acordo com a figura em anexo, onde são colocados somente os algarismos 1, 2 e 3 nos quadradinhos de forma que a soma desses números, por linha, por coluna ou por diagonal seja sempre 6.

5 - Veja

6 -
Adaptado do livro O Homem Que Calculava, de autoria do grande brasileiro Malba Tahan.

• O problema dos quatro quatros é o seguinte:
•  
•  
• Escrever, com quatro quatros e alguns sinais matemáticos, uma expressão que seja igual a um número inteiro dado.
   
• Na expressão não pode aparecer (além dos quatro quatros) nenhum algarismo ou letra ou símbolo algébrico que envolva letras, tais como: logaritmo , limite , etc. Podem entretanto ser utilizados os símbolos de fatorial, (termial)* e raiz quadrada.
   
• (*) no enunciado original de Malba Tahan, o "termial" não é citado.

Afirmam os pacientes calculistas que é possível escrever, com quatro quatros, todos os números naturais de 0 a 100 e isto é verdadeiro, conforme demonstra a tabela abaixo.

Todos os números foram escritos utilizando-se as quatro operações fundamentais, raiz quadrada, fatorial e o termial.
Sobre o fatorial de um número natural, já sabemos que:
 
n! = n(n-1)(n-2)(n-3) ... . 2.1, para n maior ou igual a 2.
 
Exemplo.: 5! = 5.4.3.2.1 = 120

Sobre o termial, recebemos uma contribuição do visitante José Cássio Filardi, a qual reproduzimos a seguir:
 
"Professor: A função termial é bastante conhecida. Só não é comum o uso de um símbolo específico. De maneira semelhante ao fatorial, pode-se representá-la através de um somatório, ou seja: n? = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n , para n maior ou igual a 2.
 
Exemplo:  7? = 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28


A denominação "termial" deriva da expressão em inglês: "termial function" . Vide o livro - The Art of Computer Programming, segunda edição, vol. 1 / Fundamental Algorithms, Donald E. Knuth - Stanford University - Addison-Wesley Publishing Company ".

Então, com as informações do Filardi e outras, nem tanto, construímos esta tabela resumo:

N.º	Solução	N.º	Solução	N.º	Solução
0	44 – 44	35	4! + (44/4)	69	(4!/4)? + 4! + 4!
1	44/44	36	4! + 4 + 4 + 4	70	(4!+44) / 4
2	4/4 + 4/4	37	(4?)?- (4? +4+4)	71	(4?)? + 4? + (4! / 4)
3	(4+4+4)/4	38		72	(4!Ö4) / (4+4)
4		39		73	(4?)? + 4! - (4! / 4)
5		40		74	(44 / 4) + 4?
6		41		75	(4?)? + (4.4) + 4
7		42		76	4.4! - (4? + 4?)
8		43	44 - (4/4)	77	[(4!)? + 4 + 4] / 4
9		44	44 + 4 – 4	78	44 + 4! + 4?
10		45	44 + (4/4)	79	(4?)? - 4 + 4! + 4
11	4? + 44 - 4	46	44 - Ö4 + 4	80	(4.4 + 4).4
12		47	4! + 4! - (4/4)	81	(4?)? + (4.4) + 4?
13		48	(Ö4)Ö 4 + 44	82	4.4! - (4? + 4)
14		49	4! + 4! + 4/4	83	[(4!)? / 4] + (4 + 4)
15		50	44 + Ö4 + 4	84	(4! – 4).4 + 4
16		51	(4?)? - (4.4) / 4	85	(4?)? + 4! + (4!/4)
17	4!-(4!+4)/4	52	4!.4 – 44	86	(4?)? + (4!/4)? + 4?
18		53	(4?)? - [(4 + 4)] / 4	87	4! + (4?)? + 4 + 4
19		54	(44 / 4) - 4?	88	44 + 44
20	(4? + 4?).(4/4)	55	(4?)? . 44 - 4	89	(4?)? + 44 - 4?
21		56	4! + 4! + 4 + 4	90	4.4! - (4!/4)
22		57	(4?)? + [(4+4) / 4]	91	(4?)? + [4.(4?)] - 4
23	4!-4(4-4)	58	(4?)? + [4 - (4/4)]	92	44 + 4! + 4!
24		59	(4?)? + (4.4) / 4	93	(4?)? + 4! + 4! - 4?
25	4! + 4(4-4)	60	4Ö4 .4 – 4	94	4.(4!/4)? + 4?
26		61	(4!/4)? + 4.4?	95	4!.4 – 4/4
27		62	4! + 4! + 4? + 4	96	4!.4 + 4 – 4
28		63	(44 – 4)/4	97	4!.4+4/4
29		64	4(4 - Ö4) . 4	98	{[(4!)? - 4]/4} + 4!
30		65	(4 + 44) / 4	99	(4?)? + 4.4? + 4
31		66	(4?)? + 4? + (4/4)	100	(4! + 4/4).4
32		67	4 + 4 + 4 + (4?)?
33		68	44/4 + 4
34		69	(4! /4)? + 4! + 4!

NOTA:  Considerando-se que o termial de um número natural n maior ou igual a 2, é o somatório de todos os números naturais de 1 a n.

Cozinhar um bolo

7 - Como medirias os 11 minutos que são 

necessários para cozinhar um bolo, com duas 

ampulhetas de 8 e 5 minutos respectivamente?

                     

8- Buscando água, uma rã caiu em um poço de 30 

metros de profundidade. Na sua busca por 

sobrevivência, a obstinada rã conseguia subir 3 

metros cada dia, sendo que a noite resbalava e 

descia 2 metros. Quantos dias a rã demorou para sair 

do poço?

9 - Dois pais e dois filhos foram pescar. Cada um pescou um peixe, sendo que ao todo foram pescados 3 peixes. Como isso é possível?

10 - Divida o vinho entre os viajantes

Dois amigos bêbados compraram 8 litros de vinho. Eles estavam caminhando, e na metade do caminho, decidem separar-se, repartindo antes o vinho igualmente. 

Para realizar as medidas há um barril de 8 litros (onde está o vinho), uma vasilha de 5 e outra de 3 litros. Como eles podem fazer para repartir igualmente o vinho?

10 - Uma garrafa com sua tampa custa R$ 1,10. Sabendo que a garrafa custa R$ 1,00 a mais que a tampa, qual é o preço da tampa da garrafa? E qual é o preço da garrafa?

Você acha fácil dobrar uma folha de papel? Que tal tentar dobrá-la 50 vezes?

Aqui está a folha...	Dobrando 1 vez...
Dobrando 2 vezes...	Dobrando 3 vezes...
Dobrando 4 vezes...	Dobrando 5 vezes...
Dobrando 6 vezes...	...

Você pode até conseguir dobrar 7 ou 8 vezes, mas nada além disso. Porém, por incrível que pareça, se você conseguisse dobrar a folha 50 vezes, ela apresentaria uma espessura aproximadamente igual à distância da Terra à Lua.

Observação: para dobrar uma folha 50 vezes ela deveria ter mais de 4.000.000 Km de comprimento!

11 - 

Vamos imaginar que dobramos um enorme 

pedaço de papel ao meio. Depois dobramos 

mais uma vez, e outra vez, e assim por diante. 

Quantas vezes conseguimos dobrar o nosso 

pedaço de papel?

.

Normalmente conseguimos dobrar uma folha 

A4 apenas 6 vezes e dificilmente se 

consegue dobrar um pedaço maior mais do 

que 7 vezes. Experimentem!

.
Mas vamos imaginar que conseguimos 

dobrar um pedaço de papel 51 vezes. No 

final 

qual seria a espessura do nosso papel? Dez 

centímetros? 50 centímetros? Um metro? 

Cinquenta metros? Um quilômetro?

.
A resposta é mais de 150.000.000 km! Sim, 

cento e cinquenta milhões de quilômetros! No 

final obteríamos uma torre que se estenderia 

para lá do Sol!
.
Quando dobramos o papel a primeira vez 

obtemos uma espessura duas vezes maior 

do que a da folha inicial. Quando dobramos 

a segunda vez será quatro vezes mais 

espesso. 

Cada vez que dobramos uma vez 

duplicamos a espessura em relação ao 

dobramento anterior. Depois dos primeiros 

dobramentos 

os números tornam-se imediatamente muito 

grandes. Vamos ver como:
.

Primeira dobra...2 folhas

Segunda dobra... 4 folhas

3ª - 8 folhas

4ª - 16 folhas

5ª - 32 folhas

6ª - 64 folhas

7ª - 128 folhas

8ª - 256 folhas

………….

40ª - 1.000.000.000.000 folhas

…………

50ª - 1.000.000.000.000.000 folhas 

(espessura=100.000.000 km)

51ª – Espessura = 200.000.000 km

.

E passamos o Sol!

.

(Distância da Terra ao Sol = 149.597.871 km 

                            Você sabia…

         

 O grande Leonard Euler afirmou que não há soluções 

inteiras positivas para a equação

 X⁴ + y⁴ + z⁴ = w⁴. Durante 200 anos ninguém conseguiu 

demonstrar isto. Parecia ser uma afirmação verdadeira 

uma vez que também ninguém pode provar que era falsa.

Entretanto, Noam Elkies da Universidade de Harvard 

trabalhando com um potente computador encontrou

2682440⁴+15365639⁴+18796760⁴ = 20615673⁴

A afirmação de Euler é falsa!

  Você sabia…

              pi  é   aproximadamente:

3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066…?