Progressão Aritmética
Conceito de Progressão Aritmética - PA
Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda sequência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.
Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)
Classificação das progressões aritméticas:
(a) (2, 5, 8, 11, …) ⇨ progressão crescente
(r = 5 − 2 = 3 > 0) infinita
(b) (-4,-4,-4,-4,-4,-4,-4) ⇨ progressão estacionária (r = (-4) - (-4) = 0) finita
(c) (10,8,6,4,2,0,-2) ⇨ progressão decrescente (r = 8 - 10 = -2 < 0 ) finita
(a) (2, 5, 8, 11, …) ⇨ progressão crescente
(r = 5 − 2 = 3 > 0) infinita
(b) (-4,-4,-4,-4,-4,-4,-4) ⇨ progressão estacionária (r = (-4) - (-4) = 0) finita
(c) (10,8,6,4,2,0,-2) ⇨ progressão decrescente (r = 8 - 10 = -2 < 0 ) finita
Termo Geral de uma Progressão Aritmética
Considere uma P.A finita qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an) de razão igual a r, sabemos que:
a2 – a1 = r → a2 = a1 + r
a3 – a2 = r → a3 – a1 – r = r → a3 = a1 + 2r
a4 – a3 = r → a4 – a1 – 2r = r → a4 = a1 + 3r
…
a n = a1 + (n – 1) . r
Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a
seguinte fórmula:
an = a1 + (n – 1) . r
an = a1 + (n – 1) . r
Ex. (Resolvidos) Determine o 20º elemento e a soma dos
termos da seguinte progressão aritmética: (2, 7, 12, 17,...).
Na progressão dada, temos que o 1º termo representado
por a1 vale 2 e a razão equivale a 5. Essa PA terá 20
termos representados pela letra n, então:
Determinando o 20º termo.
an = a1 + (n – 1) * r
a20 = 2 + (20 – 1) * 5
a20 = 2 + 19 * 5
a20 = 2 + 95
a20 = 97
Calculando a soma dos termos.
2 - Determine quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1 000
an = a1 + (n – 1) * r
999 = 108 + (n – 1) * 9
999 = 108 + 9n – 9
999 – 108 + 9 = 9n
9n = 900
n = 900/9
n = 100
Exercício
1 - Calcule o número de termos da P.A. (5, 10, ..., 785).
2 - Quantos múltiplos de 6 podemos escrever com 2 algarismos ?
3 - Quantos são os números naturais menores que 98 e divisíveis por 5 ?
4 - Quantos números inteiros existem, de 98 a 208, que são divisíveis por 8 ?
5 - Numa estrada existem dois telefones instalados
no acostamento: um no km 3 e outro no km 88. Entre eles
serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois
telefones consecutivos sempre a mesma distância.
Determine em quais marcos quilométricos deverão ficar
esses novos telefones.
6 - A soma de todos os números naturais ímpares de
2 algarismos é:
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