Progressão Geométrica

T.E.1 - Ler a teoria

Dizemos que uma sequência numérica constitui uma progressão geométrica quando, a partir do 2º termo, o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual. Observe a sequência:

(2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é uma progressão geométrica, pois se encaixa na definição dada.

4 : 2 = 2
8 : 4 = 2
16 : 8 = 2
32 : 16 = 2
64 : 32 = 2

O termo constante da progressão geométrica é denominado razão.

Muitas situações envolvendo sequências são consideradas PG, dessa forma, foi elaborada uma expressão capaz de determinar qualquer elemento de uma progressão geométrica. Veja:

a₂ = a₁ * q
a₃ = a₁ * q²
a₅ = a₁ * q⁴
a₁₀ = a₁ * q⁹
a₅₀ = a₁*q⁴⁹
a₁₀₀ = a₁*q⁹⁹

^{Com base nessa sequencias, temos}

Olhe a aplicação da P.G

Juros compostos e progressões geométricas

A maioria das operações financeiras efetuadas nos dias de hoje utiliza juros compostos para remunerar um capital. Para ilustrar, suponha, por exemplo, que uma pessoa aplicou R$ 1.000,00 em renda fixa a uma taxa de 20% ao ano. O montante M₁, obtido após um ano de aplicação, é calculado adicionando-se ao capital aplicado os juros do período, ou seja:

M₁= 1.000,00 + 0,20 . 1.000,00, ou

M₁= 1.000,00 . (1+ 0,20)

M₁= 1.000,00 . 1,20

M₁= 1.200,00

Observe que, para aumentar uma quantia em 20%, basta multiplicá-la por 1,20. Dessa forma, o montante após dois anos é igual ao valor do montante após uma ano multiplicado por 1,20:

M₂= M₁. 1,20

M₂= 1.200,00 . 1,20

M₂= 1.440,00

O montante após três anos é igual ao montante após 2 anos multiplicado por 1,20:

M₃= M₂. 1,20

M₃= 1.440,00 . 1,20

M₃= 1.728,00

Procedendo da mesma forma, podemos concluir que a seqüência formada pelos valores dos montantes, ano a ano e com base no aplicado inicialmente, constitui-se numa PG cujo primeiro termo é igual a R$ 1.000,00 e cuja razão é igual a 1,20. Assim, teremos a seguinte sequencia:

(1.000,00 ; 1.200,00 ; 1.440,00 ; 1.728,00; ...)

Para estudarmos o modelo de variação de uma capital em um regime de capitalização composta C, aplicado a uma taxa mensal de i%, durante t meses. O montante produzido pelo primeiro mês será:

M₁= C. (1+i)

O montante produzido até o segundo mês é igual ao montante produzido no primeiro mês multiplicado por (1+i)

M₂= M₁. (1+i)

M₂= C . (1+i) (1+i)

M₂= C . (1+i)²

Dessa forma temos:

M₃= C . (1+i)³

M₄= C . (1+i)⁴

M₅= C . (1+i)⁵

Assim, o montante produzido até o mês t será dado por:

M(t)= C . (1+i)^t

Essa última fórmula é utilizada para calcular o montante em uma aplicação de juros compostos, dados o capital C, a taxa de juros i e o prazo da aplicação t. A taxa de juros i deve referir-se a mesma unidade de tempo utilizada para o período t, ou seja, se a taxa for em 15% ao ano, por exemplo, o prazo de tempo deve ser considerado em anos.

Aplicação da fórmula

Exemplo 1 (Não copiar)

Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG.

a₈= 4 * 3⁷
a₈ = 4 * 2187
a₈ = 8748

O 8º termo da PG descrita é o número 8748.

Exemplo 2 (Resolvido)

Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine o 20º termo.

a₂₀ = 3 * 3¹⁹
a₂₀ = 3 * 1.162.261.467
a₂₀ = 3.486.784.401

Exercício (T.E.1 - copiar e resolver em 08/12/14)

1 - Determine o décimo termos da P.G. (2, 6, 18, 54...). .

2 - No depósito da construção civil, encontra-se várias tábuas iguais. Elas deverão ser empilhadas respeitando a seguinte ordem: uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha. Por exemplo:

Determine a quantidade de tábuas empilhadas na 12ª pilha.

3 - O carro do Fernando, cujo preço à vista é R$ 24 000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4 000,00 e a quarta parcela de R$ 1 000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro?

copiar a fórmula da soma T.E. 1 em 08/12/14

7 – Soma dos n primeiros termos de uma P.G
Considerando (a_n) como uma P.G. de razão q e S_n a soma dos n primeiros termos, temos:

Não copiar

Ex1- Determine a soma dos doze primeiros elementos da progressão geométrica (2, 8, 32, 128, ...).

a₁: 2 q (razão): 8 : 2 = 4 n: 12

2 - Uma pessoa resolve guardar um dinheiro obedecendo a uma progressão geométrica de razão 2. Considerando que no primeiro mês ela irá poupar R$ 0,50, qual será o valor poupado no oitavo mês e o total guardado no período?

Valor guardado no 8º mês.
a_n = a₁*q^n–1
a₈ = 0,5*2^8–1
a₈ = 0,5*2⁷
a₈ = 0,5*128
a₈ = 64
No oitavo mês ela irá poupar R$ 64,00.

Total poupado

A quantia poupada no tempo determinado é de R$ 127,50.

Exercício (copiar e resolver T.E.1)

1 - Calcule:

a) a soma dos cinco primeiros termos da P.G. (2, 6, 18, ...)

b) a soma dos seis primeiros termos da P.G. (4 , 8 , 16 , ...);

c) a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (1 , 2, 4, 8, 16, ...).

2 - Uma moça seria contratada como balconista para trabalhar de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecederiam o Natal. O patrão ofereceu R$ 1,00 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior. A moça recusou o trabalho. Se ela tivesse aceito a oferta, quanto teria recebido pelos 12 dias de trabalho?.

Obs: Os alunos do T.E. 1 deve copiar e resolver essas questões no caderno pois o Professor irá corrigir essa atividade valendo ponto.

Terminando a resolução (T.E.1) os alunos podem acessar o site www.educandusweb.com.br/ewce/portal login teste.teste7 senha 0312 e ver a apresentação dos conteúdos de P.G e P.A.

Curiosidade (Não copiar)

Johann Friederich Carl Gauss nasceu em Brunswick, Alemanha. De família humilde mas com o incentivo de sua mãe obteve brilhantismo em sua carreira. Estudando em sua cidade natal, certo dia quando o professor mandou que os alunos somassem os números de 1 a 100, imediatamente Gauss achou a resposta - 5050 - aparentemente sem cálculos. Supõe-se que já aí houvesse descoberto a fórmula de uma soma de uma progressão aritmética.

Johann Friedrich Carl Gauss (Alemão 1777), foi um matemático, astrônomo e físico alemão que contribuiu muito em diversas áreas da ciência, dentre elas a teoria dos números, estatística, análise matemática, geometria diferencial, geodésia, geofísica, astronomia e óptica.

1 - Um cachorro persegue um coelho. A velocidade do coelho é 1/10 da velocidade do cachorro.
A distância que os separa é de 100 metros. Nessas condições, quando o cachorro vencer os 100 metros, o coelho terá corrido 1/10 do que percorreu o cachorro e ficará 10 metros a sua frente. Quando o cachorro correr esses 10 metros, o coelho terá percorrido 1/10 dessa distância e estará 1 metro a sua frente. Quando o cachorro correr esse metro, o coelho terá corrido 10 centímetros, e assim por diante. Esse raciocínio pode levar muita gente a pensar que o cachorro nunca alcançará o coelho. Assim também pensou o coelho. Azar dele.

Com os recursos estudados é possível determinar em que ponto o cachorro alcançará o coelho. E, então, quantos metros ele deverá correr para alcançar o coelho?

2 - O Último teorema de Fermat, ou teorema de Fermat - Wiles, afirma que não existe nenhum conjunto de inteiros positivos x, y, z e n com n maior que 2 que satisfaça.