quarta-feira, 25 de junho de 2014

Função Módular

                   FUNÇÃO MODULAR

      A função modular tem várias aplicações no cotidiano, como por exemplo a aplicação em comparação das temperaturas entre duas ou mais cidade, na Física, na Química na Geografia entre outras.
     Todos os alunos deverão ler a teoria e depois copiar e resolver as atividades.
Para entender função modular - tema que cai nos vestibulares e no Enem - devemos compreender o que é módulo. Em seguida, através de exercícios, resolveremos algumas equações modulares e falaremos sobre a função modular: 
O que muda ao inserirmos um módulo à função? Assunto mais adiante
Módulo
Antes de falar da função modular, vamos relembrar a definição e como calcular o módulo de um número. O módulo é a distância de um determinado número até o zero. Por exemplo, o módulo de 13 é a distância entre o 13 e o 0. Para nos deslocarmos do 13 ao 0, andaremos 13 unidades. Portanto, o módulo de 13 é igual a 13. Ou ainda: |13| = 13. Sendo assim, qual será o módulo de -13? Bem, a distância do -13 ao zero é também de 13 unidades. Então, |-13| = 13.
Módulo de um número real

O módulo ou valor absoluto de um número real x é representado por |x|, que lemos: módulo de x.

1º - Se x for um número real positivo o módulo de x será o próprio x.
2º - Se x for um número real negativo o módulo de x será o x positivo.

Resumindo | - x | = x
                   | x | = x

 Obs: O módulo pode ser interpretado como a distância, na reta real, de um número real  x  a origem (zero)

Considere a reta real:













Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (distância do ponto até o zero) de módulo ou valor absoluto.

Assim, a distância do ponto 4 à origem é 4. Dizemos que o módulo de 4 é igual a 4. E representamos por |4| = 4
    Da mesma forma, a distância do ponto  -2  à origem é  2, ou seja, o módulo de  -2  é 2, pois não há sentido em considerarmos distâncias negativas. Assim:  |-2| = 2
Exemplos:
|3| = 3                      |-18| = 18                     |-20| = 20                  |30| = 30
|-7| = 7                    |0| = 0                           |-100| = 100 
Outros exemplos:
a) |-3| = 3                           b) |-8| = 8                     c) |7| = 7                  d) |10| = 10
                               1ª Atividade:

1 - Calcule o valor de cada expressão modular:
a) |-10 - 20 - 30|           b) | -3 + 4 - 5 + 6 - 7|

2 - Determine:
a) |-4 + 8| + |-10 + 20|                 b) | 9 - 10 + 11| + | -7 + 6 |           
                        
 3 - Seja a função modular f: R  em  R definida por f(x) = |2x - 10|, calcule
a) f(-3)                      b) f(-5)                            

4 - Seja f(x) = | x - 1 | + | x - 3 |, determine o valor de:
a) f(-3)                  b) f(-11)                      

5 -A estrada que liga Recife a Caruaru tem 240 km de extensão e será recuperada em três etapas. Na primeira etapa, será recuperado 1/6 da estrada e na segunda etapa 1/4 da estrada. Quantos quilômetros será recuperada na terceira etapa?

6 - A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho. Daqui a cinco anos, a idade do pai será o triplo da idade do filho. Qual é a idade atual de cada um?


Propriedades do Módulo de Números Reais 

1º) Para quaisquer valores reais de x temos as seguintes propriedades:

 







2º) Para a e b reais temos as seguintes propriedades:
a)

b)  para

c)

Gráfico de uma função modular:  f(x) = | x  |
Gráfico da função modular:  f(x) = | x |        x   |   y
Observe: x = -2 temos f(x) = 2,                  -2  | 2
               x = -1  temos f(x) = 1,                 -1   |  1
               x = 1 temos  f(x) = 1                  0    | 0  (raiz)
              x = 2  temos  f(x) = 2                   1     |  1
                                                                  2   |  2


Observe o esboço do gráfico da função f(x) = |2x + 6|

1º -Raiz da equação 2x + 6 = 0, temos 2x = -6 teremos x = -3 Para  x = -3  temos  f(x) = 0
           x = -4 temos f(x) = 2                    x        |        y
          x = -1 temos  f(x) = 4                  -5         |        4
          x = 0   temos  f(x) = 6                -4         |        2
                                                                  -3        |        0
                                                                  -2        |        2
                                                                  -1        |        4  
Funções (Foto: Colégio Qi)(Foto: Colégio EEEP Antônio Valmir da SilvaVamos esboçar o gráfico de g(x) = | x² - 5x + 4|:
De início, o esboço do gráfico sem o módulo: h(x) = x² - 5x + 4:

Raízes da equação h(x) são 1   e   4.  O valor de  c  é  c = 4  

Função Modular (Foto: Colégio Qi)(Foto: EEEP Antônio Valmir da Silva)

Agora aplicando o módulo (a parte que está negativa sobe), teremos o gráfico a seguir

Função Modular (Foto: Colégio Qi)(Foto: EEEP Antônio Valmir da Silva)














































Veja o gráfico da função f(x) = |x² - 4|  (legal)
Raízes são x² - 4 = 0, temos que x² = 4 ou x = -2 e x = 2 (pontos no eixo x)
 x  y                        x   |  y
-4   |   12                                           0    |   4
-3   |   5                                            1     |    3
-2   |   0 (raiz)                                   2     |    0
-1   |  3                                             3     |   5
0     | 4                                              4     |  12




 2ª Atividade.
1 - Construir o gráfico da função modular f(x) = |2x - 6|, determinando o domínio e o conjunto imagem.



Equação modular: São equações que apresenta o módulo

a)  | x | =  4                          b) | x - 2 | =  8                            c) | 2x - 1 |  = x + 2

Obs: 1º) |ax + b| = k, temos que k  0
        2º) Não existe solução quando |ax + b| = - k

Solucionando Equações Modulares 



Seja a equação  |ax + b| = k
temos  ax + b = k  ou 
ax + b = -k


Resolver uma equação modular é encontrar valores para a incógnita que venha satisfazer na equação
1 -  Resolver a equação modular
|x + 2| = 4 
Condições: 
1º) x + 2 = 4             ou              2º) x + 2 = – 4 
Resolução: 
x + 2 = 4 → x = 4 – 2 → x = 2 
x + 2 = – 4 → x = – 4 – 2 → x = – 6 

S = {–6; 2} 

2  -  Resolver a equação modular


Condições:
1º) 3x + 5 = 17          ou       2º)    3x + 5 = -17
Resolução




S = (-22/3 ; 4)

3 - Resolver a equação modular
|2x - 10| = 16
Condições:
1º) 2x - 10 = 16              ou  2º)  2x - 10 = -16
Resolução
2x - 10 = 16  temos 2x = 16 + 10 logo 2x = 26 assim x = 13

2x - 10 = -16 temos 2x = -16 + 10 logo 2x = -6 assim x = -3
                               3ª Atividade

1 - Resolva as equações modulares:
a) |x - 7| = 10         b) |2x - 10| = 2    c) |3x + 3| = 5  

Inequação modular
Quando temos a inequação  
|x| < a, logo x < a ou x > -a
                                       
|x | > a, logo x > a ou x < -a

Observe a resolução da inequação |x - 4 | > 10.

1º  x - 4 > 10  logo x > 10 + 4  assim  x > 14

2º  x - 4 < -10  logo x < -10 + 4 assim x < -6

S = {x  R/ x < -6  ou x > 14}



4ª Atividade


1 - Resolva as inequações modulares:
a)  |2x - 3 | > 17                     b) |3 + 2x| < 11  

quarta-feira, 18 de junho de 2014

Aplicação da Matemática

A Matemática está presente nas construções civis, na economia, na informática e em várias outras áreas do conhecimento.

POTENCIAÇÃO

                    Potenciação
Potenciação - é a operação de elevar um número a uma dada potência. 

Obs:
Note que temos o número dois ( base ) com o número três (expoente) sobrescrito à sua direita ( 23 ). 
   Dizemos que o número 2 está elevado à terceira potência, ou ainda que 23 é a terceira potência de 2.
Nesta potência o número 2 é a sua base e ao número 3 é o expoente.
   Esta potência representa a multiplicação de três fatores iguais a dois, então 23 é igual a  . 2 . 2  que é igual a 8.
   Potências com expoente 2 ou 3 possuem uma outra forma particular de leitura. A potência 23 também pode ser lida como dois ao cubo, assim como a potência 32 pode ser lida como três ao quadrado.

Potências de Base Real com Expoente Inteiro

Nestas condições há quatro situações em particular que iremos tratar. A saber, quando o expoente é maior que um, quando é igual a um, quando é igual a zero e quando é negativo.

Expoente maior que 1

De forma geral:
, isto é, a multiplicação de   fatores iguais a  "a".
Este é o caso de mais fácil compreensão, pois o conceito da exponenciação está bem claro. Observe a expressão abaixo:

Expoente igual a 1

Todo número elevado a 1 é igual ao próprio número:

Expoente igual a 0 (zero)

Todo número, diferente de zero, elevado a 0 é igual a 1:
Obs: 00 é indeterminado, embora em algumas situações convenciona-se que seja igual a 1. Para qualquer outro expoente real n positivo, temos que 0n = 0.

Expoente negativo

Qualquer número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual ao inverso deste número elevado ao oposto do expoente:
Vejamos agora a explicação onde se baseiam estes três últimos conceitos explicados acima.

Propriedades das potências de base real com expoente inteiro



Multiplicação de potências de mesma base

A multiplicação de potências de mesma base é igual a esta base elevada à soma dos expoentes.
Generalizando:

Divisão de potências de mesma base

A divisão de potências de mesma base, diferente de zero, é igual a esta base elevada à diferença dos expoentes.
Generalizando temos:
Note que a base a deve ser diferente de 0, pois como sabemos não existe quociente real para a divisão por zero neste conjunto numérico.

Obs: a0 = 1

Para todo número a real, com a diferente de zero, temos:
É por isto que todo número, diferente de zero, elevado a 0 é igual a 1:

Potência de um produto

A potência do produto de dois ou mais fatores é igual ao produto de cada um destes fatores elevados ao expoente em questão:
Vamos tomar como exemplo o produto de três fatores distintos elevados ao cubo:
Não custa nada fazermos uma verificação só para conferir:

Potência de um quociente

Podemos proceder de forma análoga ao que fizemos no caso da multiplicação, mas neste caso os divisores não podem ser iguais a zero:

Potência de um expoente fracionário

Podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical:
Exemplo:

Potência de uma potência

Novamente para uma base diferente de zero podemos expressar a seguinte igualdade:
Vamos como de costume recorrer a um exemplo:
E agora vamos verificar a veracidade desta propriedade:


1ª Atividade
1 - Calcule:

a)  33 + 23                c)(2/3)3              c) (- 2)3 - (-2)3                    

2 - Aplicando as propriedades, determine:
a)  (23).(24).(2-5)      b) (103).(10-4).(1010)   

3)   Calcule: 
a)    exercicio_radiciacao7.gif (411 bytes)       b)  exercicio_radiciacao8.gif (461 bytes)   c) exercicio_radiciacao4.gif (488 bytes)





 Desafios curiosos - NÃO precisa copiar

Cozinhar um bolo

1 - Como medirias os 11 minutos que são 

necessários para cozinhar um bolo, com duas 

ampulhetas de e 5 minutos respectivamente?
                     

2 - Buscando água, uma rã caiu em um poço de 30 

metros de profundidade. Na sua busca por 

sobrevivência, a obstinada rã conseguia subir 3 

metros cada dia, sendo que a noite resbalava e 

descia 2 metros. Quantos dias a rã demorou para sair 

do poço?

5 - O vovô "Controlado" tinha muitos netos. No 

Natal, resolveu presenteá-los com um dinheirinho. 

Separou uma quantia em dinheiro e percebeu que, se 

ele der R$ 12,00 a cada garoto, ainda ficará com R$ 

60,00. Se ele der R$ 15,00 a cada um, precisará de 

mais R$ 6,00. Quantos netos o vovô  

"Controlado" tem?

6 Divida o vinho entre os viajantes
Dois amigos bêbados compraram 8 litros de vinho. Eles estavam caminhando, e na metade do caminho, decidem separar-se, repartindo antes o vinho igualmente. 
Para realizar as medidas há um barril de 8 litros (onde está o vinho), uma vasilha de 5 e outra de 3 litros. Como eles podem fazer para repartir igualmente o vinho?



7 - Uma garrafa com sua tampa custa R$ 1,10. Sabendo que a garrafa custa R$ 1,00 a mais que a tampa, qual é o preço da tampa da garrafa? E qual é o preço da garrafa?


8Os Relógios


Um homem tem dois relógios. Um deles não anda e o outro 
atrasa uma hora por dia. Qual deles mostrará mais 
freqüentemente a hora certa?

9Elevei um número positivo ao quadrado, subtraí do resultado o mesmo número e o que restou dividi ainda pelo mesmo número. O resultado que achei foi igual:
a) Ao próprio número
b) Ao dobro do número
c) Ao número mais 1
d) Ao número menos 1

10 - A matemática e a música







































11 - 












































12 - 


































13
















































14 - 

Origem dos algarismos Indu-arábicos






































15 -

Você acha fácil dobrar uma folha de papel? Que tal tentar dobrá-la 50 vezes?
Aqui está a folha...
Dobrando 1 vez...
Dobrando 2 vezes...Dobrando 3 vezes...
Dobrando 4 vezes...Dobrando 5 vezes...
Dobrando 6 vezes......
Você pode até conseguir dobrar 7 ou 8 vezes, mas nada além disso. Porém, por incrível que pareça, se você conseguisse dobrar a folha 50 vezes, ela apresentaria uma espessura aproximadamente igual à distância da Terra à Lua.
Observação: para dobrar uma folha 50 vezes ela deveria ter mais de 4.000.000 Km de comprimento!

16 - 
Vamos imaginar que dobramos um enorme 

pedaço de papel ao meio. Depois dobramos 

mais uma vez, e outra vez, e assim por diante. 

Quantas vezes conseguimos dobrar o nosso 

pedaço de papel?
.
Normalmente conseguimos dobrar uma folha 

A4 apenas 6 vezes e dificilmente se 

consegue dobrar um pedaço maior mais do 

que 7 vezes. Experimentem!
.
Mas vamos imaginar que conseguimos 

dobrar um pedaço de papel 51 vezes. No final 

qual seria a espessura do nosso papel? Dez 

centímetros? 50 centímetros? Um metro? 

Cinquenta metros? Um quilômetro?
.
A resposta é mais de 150.000.000 km! Sim, 

cento e cinquenta milhões de quilômetros! No 

final obteríamos uma torre que se estenderia 

para lá do Sol!
.
Quando dobramos o papel a primeira vez 

obtemos uma espessura duas vezes maior do 

que a da folha inicial. Quando dobramos a 

segunda vez será quatro vezes mais espesso. 

Cada vez que dobramos uma vez duplicamos 

a espessura em relação ao dobramento 

anterior. Depois dos primeiros dobramentos 

os números tornam-se imediatamente muito 

grandes. Vamos ver como:
.
Primeira dobra...2 folhas

Segunda dobra... 4 folhas

3ª - 8 folhas

4ª - 16 folhas

5ª - 32 folhas

6ª - 64 folhas

7ª - 128 folhas

8ª - 256 folhas
………….


40ª - 1.000.000.000.000 folhas

…………

50ª - 1.000.000.000.000.000 folhas 

(espessura=100.000.000 km)

51ª – Espessura = 200.000.000 km
.
E passamos o Sol!
.
(Distância da Terra ao Sol = 149.597.871 km