Função Módular

                   FUNÇÃO MODULAR

      A função modular tem várias aplicações no cotidiano, como por exemplo a aplicação em comparação das temperaturas entre duas ou mais cidade, na Física, na Química na Geografia entre outras.
     Todos os alunos deverão ler a teoria e depois copiar e resolver as atividades.

Para entender função modular - tema que cai nos vestibulares e no Enem - devemos compreender o que é módulo. Em seguida, através de exercícios, resolveremos algumas equações modulares e falaremos sobre a função modular: 

O que muda ao inserirmos um módulo à função? Assunto mais adiante

Módulo

Antes de falar da função modular, vamos relembrar a definição e como calcular o módulo de um número. O módulo é a distância de um determinado número até o zero. Por exemplo, o módulo de 13 é a distância entre o 13 e o 0. Para nos deslocarmos do 13 ao 0, andaremos 13 unidades. Portanto, o módulo de 13 é igual a 13. Ou ainda: |13| = 13. Sendo assim, qual será o módulo de -13? Bem, a distância do -13 ao zero é também de 13 unidades. Então, |-13| = 13.

Módulo de um número real

O módulo ou valor absoluto de um número real x é representado por |x|, que lemos: módulo de x.

1º - Se x for um número real positivo o módulo de x será o próprio x.
2º - Se x for um número real negativo o módulo de x será o x positivo.

Resumindo | - x | = x
                   | x | = x

 Obs: O módulo pode ser interpretado como a distância, na reta real, de um número real  x  a origem (zero)

Considere a reta real:

Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (distância do ponto até o zero) de módulo ou valor absoluto.

Assim, a distância do ponto 4 à origem é 4. Dizemos que o módulo de 4 é igual a 4. E representamos por |4| = 4
    Da mesma forma, a distância do ponto  -2  à origem é  2, ou seja, o módulo de  -2  é 2, pois não há sentido em considerarmos distâncias negativas. Assim:  |-2| = 2
Exemplos:
|3| = 3                      |-18| = 18                     |-20| = 20                  |30| = 30
|-7| = 7                    |0| = 0                           |-100| = 100 

Outros exemplos:
a) |-3| = 3                           b) |-8| = 8                     c) |7| = 7                  d) |10| = 10
                               1ª Atividade:

1 - Calcule o valor de cada expressão modular:
a) |-10 - 20 - 30|           b) | -3 + 4 - 5 + 6 - 7|

2 - Determine:
a) |-4 + 8| + |-10 + 20|                 b) | 9 - 10 + 11| + | -7 + 6 |           
                        
 3 - Seja a função modular f: R  em  R definida por f(x) = |2x - 10|, calcule
a) f(-3)                      b) f(-5)                            

4 - Seja f(x) = | x - 1 | + | x - 3 |, determine o valor de:
a) f(-3)                  b) f(-11)                      

5 -A estrada que liga Recife a Caruaru tem 240 km de extensão e será recuperada em três etapas. Na primeira etapa, será recuperado 1/6 da estrada e na segunda etapa 1/4 da estrada. Quantos quilômetros será recuperada na terceira etapa?

6 - A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho. Daqui a cinco anos, a idade do pai será o triplo da idade do filho. Qual é a idade atual de cada um?

Propriedades do Módulo de Números Reais 

1º) Para quaisquer valores reais de x temos as seguintes propriedades:
 







2º) Para a e b reais temos as seguintes propriedades:
a)

b)  para

c)

Gráfico de uma função modular:  f(x) = | x  |
Gráfico da função modular:  f(x) = | x |        x   |   y
Observe: x = -2 temos f(x) = 2,                  -2  | 2
               x = -1  temos f(x) = 1,                 -1   |  1
               x = 1 temos  f(x) = 1                  0    | 0  (raiz)
              x = 2  temos  f(x) = 2                   1     |  1
                                                                  2   |  2


Observe o esboço do gráfico da função f(x) = |2x + 6|

1º -Raiz da equação 2x + 6 = 0, temos 2x = -6 teremos x = -3 Para  x = -3  temos  f(x) = 0
           x = -4 temos f(x) = 2                    x        |        y
          x = -1 temos  f(x) = 4                  -5         |        4
          x = 0   temos  f(x) = 6                -4         |        2
                                                                  -3        |        0
                                                                  -2        |        2
                                                                  -1        |        4  
(Foto: Colégio EEEP Antônio Valmir da SilvaVamos esboçar o gráfico de g(x) = | x² - 5x + 4|:

De início, o esboço do gráfico sem o módulo: h(x) = x² - 5x + 4:

Raízes da equação h(x) são 1   e   4.  O valor de  c  é  c = 4  

(Foto: EEEP Antônio Valmir da Silva)

Agora aplicando o módulo (a parte que está negativa sobe), teremos o gráfico a seguir

(Foto: EEEP Antônio Valmir da Silva)

Veja o gráfico da função f(x) = |x² - 4|  (legal)
Raízes são x² - 4 = 0, temos que x² = 4 ou x = -2 e x = 2 (pontos no eixo x)
 x |  y                        x   |  y
-4   |   12                                           0    |   4
-3   |   5                                            1     |    3
-2   |   0 (raiz)                                   2     |    0
-1   |  3                                             3     |   5
0     | 4                                              4     |  12

 2ª Atividade.

1 - Construir o gráfico da função modular f(x) = |2x - 6|, determinando o domínio e o conjunto imagem.



Equação modular: São equações que apresenta o módulo

a)  | x | =  4                          b) | x - 2 | =  8                            c) | 2x - 1 |  = x + 2

Obs: 1º) |ax + b| = k, temos que k ≥ 0
        2º) Não existe solução quando |ax + b| = - k

Solucionando Equações Modulares 

Seja a equação  |ax + b| = k
temos  ax + b = k  ou 
ax + b = -k

Resolver uma equação modular é encontrar valores para a incógnita que venha satisfazer na equação
1 -  Resolver a equação modular
|x + 2| = 4 
Condições: 
1º) x + 2 = 4             ou              2º) x + 2 = – 4 
Resolução: 
x + 2 = 4 → x = 4 – 2 → x = 2 
x + 2 = – 4 → x = – 4 – 2 → x = – 6 

S = {–6; 2} 

2  -  Resolver a equação modular


Condições:
1º) 3x + 5 = 17          ou       2º)    3x + 5 = -17
Resolução




S = (-22/3 ; 4)

3 - Resolver a equação modular
|2x - 10| = 16
Condições:

1º) 2x - 10 = 16              ou  2º)  2x - 10 = -16

Resolução
2x - 10 = 16  temos 2x = 16 + 10 logo 2x = 26 assim x = 13

2x - 10 = -16 temos 2x = -16 + 10 logo 2x = -6 assim x = -3
                               3ª Atividade

1 - Resolva as equações modulares:
a) |x - 7| = 10         b) |2x - 10| = 2    c) |3x + 3| = 5  

Inequação modular
Quando temos a inequação  
|x| < a, logo x < a ou x > -a
                                       
|x | > a, logo x > a ou x < -a

Observe a resolução da inequação |x - 4 | > 10.

1º  x - 4 > 10  logo x > 10 + 4  assim  x > 14

2º  x - 4 < -10  logo x < -10 + 4 assim x < -6

S = {x  R/ x < -6  ou x > 14}

4ª Atividade

1 - Resolva as inequações modulares:
a)  |2x - 3 | > 17                     b) |3 + 2x| < 11