POTENCIAÇÃO

Potenciação

Potenciação - é a operação de elevar um número a uma dada potência.

Obs:

Note que temos o número dois ( base ) com o número três (expoente) sobrescrito à sua direita ( 2³ ).

Dizemos que o número 2 está elevado à terceira potência, ou ainda que 2³ é a terceira potência de 2.

Nesta potência o número 2 é a sua base e ao número 3 é o expoente.

Esta potência representa a multiplicação de três fatores iguais a dois, então 2³ é igual a 2 _^. 2 _^. 2 que é igual a 8.

Potências com expoente 2 ou 3 possuem uma outra forma particular de leitura. A potência 2³ também pode ser lida como dois ao cubo, assim como a potência 3² pode ser lida como três ao quadrado.

Potências de Base Real com Expoente Inteiro

Nestas condições há quatro situações em particular que iremos tratar. A saber, quando o expoente é maior que um, quando é igual a um, quando é igual a zero e quando é negativo.

Expoente maior que 1

De forma geral:

, isto é, a multiplicação de n fatores iguais a "a".

Este é o caso de mais fácil compreensão, pois o conceito da exponenciação está bem claro. Observe a expressão abaixo:

Expoente igual a 1

Todo número elevado a 1 é igual ao próprio número:

Expoente igual a 0 (zero)

Todo número, diferente de zero, elevado a 0 é igual a 1:

Obs: 0⁰ é indeterminado, embora em algumas situações convenciona-se que seja igual a 1. Para qualquer outro expoente real n positivo, temos que 0ⁿ = 0.

Expoente negativo

Qualquer número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual ao inverso deste número elevado ao oposto do expoente:

Vejamos agora a explicação onde se baseiam estes três últimos conceitos explicados acima.

Propriedades das potências de base real com expoente inteiro

Multiplicação de potências de mesma base

A multiplicação de potências de mesma base é igual a esta base elevada à soma dos expoentes.

Generalizando:

Divisão de potências de mesma base

A divisão de potências de mesma base, diferente de zero, é igual a esta base elevada à diferença dos expoentes.

Generalizando temos:

Note que a base a deve ser diferente de 0, pois como sabemos não existe quociente real para a divisão por zero neste conjunto numérico.

Obs: a⁰ = 1

Para todo número a real, com a diferente de zero, temos:

É por isto que todo número, diferente de zero, elevado a 0 é igual a 1:

Potência de um produto

A potência do produto de dois ou mais fatores é igual ao produto de cada um destes fatores elevados ao expoente em questão:

Vamos tomar como exemplo o produto de três fatores distintos elevados ao cubo:

Não custa nada fazermos uma verificação só para conferir:

Potência de um quociente

Podemos proceder de forma análoga ao que fizemos no caso da multiplicação, mas neste caso os divisores não podem ser iguais a zero:

Potência de um expoente fracionário

Podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical:

Exemplo:

Potência de uma potência

Novamente para uma base diferente de zero podemos expressar a seguinte igualdade:

Vamos como de costume recorrer a um exemplo:

E agora vamos verificar a veracidade desta propriedade:

1ª Atividade

1 - Calcule:

a) 3³ + 2³ c)(2/3)³ c) (- 2)³ - (-2)³

2 - Aplicando as propriedades, determine:

a) (2³).(2⁴).(2^-5) b) (10³).(10^-4).(10¹⁰)

3) Calcule:

Desafios curiosos - NÃO precisa copiar

Cozinhar um bolo

1 - Como medirias os 11 minutos que são

necessários para cozinhar um bolo, com duas

ampulhetas de 8 e 5 minutos respectivamente?

2 - Buscando água, uma rã caiu em um poço de 30

metros de profundidade. Na sua busca por

sobrevivência, a obstinada rã conseguia subir 3

metros cada dia, sendo que a noite resbalava e

descia 2 metros. Quantos dias a rã demorou para sair

do poço?

3 - Dois pais e dois filhos foram pescar. Cada um pescou um peixe, sendo que ao todo foram pescados 3 peixes. Como isso é possível?

4 - Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos xy e yx, cuja soma é o número de três algarismos zxz. Quanto valem x, y e z?

5 - O vovô "Controlado" tinha muitos netos. No

Natal, resolveu presenteá-los com um dinheirinho.

Separou uma quantia em dinheiro e percebeu que, se

ele der R$ 12,00 a cada garoto, ainda ficará com R$

60,00. Se ele der R$ 15,00 a cada um, precisará de

mais R$ 6,00. Quantos netos o vovô

"Controlado" tem?

6 - Divida o vinho entre os viajantes

Dois amigos bêbados compraram 8 litros de vinho. Eles estavam caminhando, e na metade do caminho, decidem separar-se, repartindo antes o vinho igualmente.

Para realizar as medidas há um barril de 8 litros (onde está o vinho), uma vasilha de 5 e outra de 3 litros. Como eles podem fazer para repartir igualmente o vinho?

7 - Uma garrafa com sua tampa custa R$ 1,10. Sabendo que a garrafa custa R$ 1,00 a mais que a tampa, qual é o preço da tampa da garrafa? E qual é o preço da garrafa?

8 - Os Relógios

Um homem tem dois relógios. Um deles não anda e o outro

atrasa uma hora por dia. Qual deles mostrará mais

freqüentemente a hora certa?

9 - Elevei um número positivo ao quadrado, subtraí do resultado o mesmo número e o que restou dividi ainda pelo mesmo número. O resultado que achei foi igual:

a) Ao próprio número
b) Ao dobro do número
c) Ao número mais 1
d) Ao número menos 1

10 - A matemática e a música

11 -

12 -

13 -

14 -

Origem dos algarismos Indu-arábicos

15 -

Você acha fácil dobrar uma folha de papel? Que tal tentar dobrá-la 50 vezes?

Aqui está a folha...	Dobrando 1 vez...

Dobrando 2 vezes...	Dobrando 3 vezes...

Dobrando 4 vezes...	Dobrando 5 vezes...

Dobrando 6 vezes...	...

Você pode até conseguir dobrar 7 ou 8 vezes, mas nada além disso. Porém, por incrível que pareça, se você conseguisse dobrar a folha 50 vezes, ela apresentaria uma espessura aproximadamente igual à distância da Terra à Lua.

Observação: para dobrar uma folha 50 vezes ela deveria ter mais de 4.000.000 Km de comprimento!

16 -

Vamos imaginar que dobramos um enorme

pedaço de papel ao meio. Depois dobramos

mais uma vez, e outra vez, e assim por diante.

Quantas vezes conseguimos dobrar o nosso

pedaço de papel?

Normalmente conseguimos dobrar uma folha

A4 apenas 6 vezes e dificilmente se

consegue dobrar um pedaço maior mais do

que 7 vezes. Experimentem!

.
Mas vamos imaginar que conseguimos

dobrar um pedaço de papel 51 vezes. No final

qual seria a espessura do nosso papel? Dez

centímetros? 50 centímetros? Um metro?

Cinquenta metros? Um quilômetro?

.
A resposta é mais de 150.000.000 km! Sim,

cento e cinquenta milhões de quilômetros! No

final obteríamos uma torre que se estenderia

para lá do Sol!
.
Quando dobramos o papel a primeira vez

obtemos uma espessura duas vezes maior do

que a da folha inicial. Quando dobramos a

segunda vez será quatro vezes mais espesso.

Cada vez que dobramos uma vez duplicamos

a espessura em relação ao dobramento

anterior. Depois dos primeiros dobramentos

os números tornam-se imediatamente muito

grandes. Vamos ver como:
.

Primeira dobra...2 folhas

Segunda dobra... 4 folhas

3ª - 8 folhas

4ª - 16 folhas

5ª - 32 folhas

6ª - 64 folhas

7ª - 128 folhas

8ª - 256 folhas

………….

40ª - 1.000.000.000.000 folhas

…………

50ª - 1.000.000.000.000.000 folhas

(espessura=100.000.000 km)

51ª – Espessura = 200.000.000 km

E passamos o Sol!

(Distância da Terra ao Sol = 149.597.871 km